343 
een getal tf,, zoodat voor rf, en d, ook de ongelijkheid 
plaats heeft. 
Is d dj en tevens d,, dan heeft men 
Er bestaat nu slechts een eindig aantal indices, waarvoor x, > d, 
y^>d. In ieder van de daarmee overeenkomende punten kan 
men een index > N vinden, zoodat 
I ^ te' yi) ~ I < 
Op de beschouwde puntverzameling convergeert derhalve de fnnetie- 
rij fpn qnasi-uniform. 
2. Laat omgekeerd gegeven zijn, dat op iedere puntverzameling 
A(^i. yi). yJ. • • • ™et 0 < ^ a, 0 < ^ a, Hm x — 0, 
k—<io * 
Um y = 0 deze functierij quasi-uniform convergeert. 
fc=oo 
Zij M het maximum van f{x) in 0, m het minimum. Men kan 
een puntverzameling x^,x^, . . . construeeren, met j;^^0en Hm x =0, 
zoodat Hm /(^,) = M-, evenzoo een puntverzameling y^, y„ . . . , met 
en limy^ = 0, zoodat Hmf(yj^ = m. Beschouwen we nu de 
puntverzameling 
A(^h.yi). -f". ’ dan is Um <P {x , y = M ~ m , (!) 
Jc='X> 
tenzij m = -j - 00 of iif = — co. Nu kan men volgens onderstelling 
in ieder der punten uit een vast aantal indices 1,2,.. . n{e) een 
keuze doen om te zorgen dat 
<1 (2) 
als s een willekeurig gegeven positief getal is. Wegens de continuïteit 
van alle 4>n^{x,y) en de eindigheid van het hier beschouwde aantal 
bestaat er nu een getal d, zoodat voor ieder punt met x^^c^ d 
en y^<^ d voldaan is aan 
dus weg 
‘*'”«(00)= o is j . ... (3) 
Uit (2) en (3) volgt: y^")! <^6 voorir^<^d, y^ d, en hieruit 
wegens Hm Xj^ = 0 en IHn y = 0 
t=00 k=<X> 
