344 
Ihn 0 (x, y ) = O 
IC ‘ k 
k=.a> 
(4) 
Uit (1) en (4) volgt dat M—m, dus lim f{x) bestaat en is eindig, 
:r— ^0 
als niet jn = -f" of M = — co is. 
Had men m = -)- dan was A oor iedere puntverzarneling .... 
met X ^ 0 en lini x = 0 de ïim /(.r ) = -1- oo. 
K » /v i fC 
k~ 00 4 := 00 
Bij iedere x^^ van zulk een verzameling kan men een 
vinden zoodat /{Hj) ^ /(‘^V “t~ ^ on zoodat =0. Dan is 
1{=<XI 
Urn *I> = — 00 , hetgeen in strijd is met de formule (4). Evenzoo 
k=. ® 
blijkt dat onmogelijk M = — oo kan zijn. Samenvattende hebben 
we de volgende stelling : 
Heeft men een rij van functies (a*), die continu zijn voor 
0<x^a en heeft men Urn f (x) = f{x) voor 0<jx^a, ddn is een 
??=Q0 
noodige en voldoende voorwaarde waaronder f{x) in O tot een eindige 
limiet nadert-, de quasi-uniforme convergentie van de functierij 
dy, {x, y) = f^^ (a) — f^^ (y) op iedere puntverzaïnelmg {x^, yj, (a,, y,) , . . . 
met O <f X < a, O <j y, a en Hm x = O, Hm y = 0. 
K * tC j rC j * rC 
II. 
3. Laten /i(a), ƒ, (a), . . . continu zijn voor O^a^a en in O met 
eindige afgeleiden /(O) voorzien. Laat de rij convergent zijn voor 
ƒ (^.)_/ (0) 
O < .r < a. De functies f*{.v)=— — voor a '> O en = /'(O) 
— — ^ ^ ^ n ' 
voor a = 0 zijn uit hoofde van de gemaakte onderstellingen continu 
in 0<a<rt en de functierij /*(.r) convergeert voor üc^a^a tot 
de grensfunctio f*{x) = '^^ — waarin f{x) = Hm f{x). 
X n= 00 " 
Heeft f{x) in O een eindige afgeleide, dan nadert /*(a) vcor a-»0 
tot een eindige limiet, en omgekeerd. 
Door toepassing van de in I behandelde stelling vinden we der- 
halve, als we bedenken dat 
f: (•") iy) = 
yf„ — '¥Sy) + (o) 
xy 
Heeft men een rij van functies ffx), die continu zijn voor O "^x "^a 
en in O met eindige afgeleiden f'fO) voorzien, terwijl voor O ^ a ^ a 
Hm f (.c) = /(a), dan is een noodige en voldoende voorwaarde waar- 
« = 00 
onder f{x) in O een eindige afgeleide heeft-, de quasi-uniforme con- 
