345 
.v4 W — Cv) + (■« — .v)/„(0) ^ 
vergentie van ae funciierij ify (x,y) = 
xy 
iedere puntverzameling yj, yj, . . . met O xjc a, O y^ ^ a, 
en Hm x = O, Um y = 0.. 
&=» * k=:oo' 
4. Merken we op, dat in deze stelling omtrent de convergentie 
of divei-gentie van de rij /^[(O) niets verondersteld wordt. Laat deze 
rij convergeeren. Dan convergeert de rij van continue functies f* (x) 
in 0 ^x -^a, tot ƒ *(^0 voor x j> 0, tot X = Hm y | (0) voor x = 0. 
fj= 00 
Is ƒ '(0) = /wj /yO), dan is 
n= 00 
Ivn f* (x) =z X ........ ( 5 ) 
x=0 
Beschouwen we een puntverzameling x^,x^,..., met Um x =0 
lc=0 ^ 
en geven we weer twee positieve getallen 6, N. Er is een index 
iVo j> N, zoodat 
• w 
•^*0 
Daar (0) = continu is en wegens (5) heeft 
men een zeker getal zoodat voor iedei’e k'^ k,, 
Daar men in ieder van het eindige aantal punten x^ waarvoor 
k^k^ een index Nk^-N vinden kan zoodat 
blijkt dat de funciierij /* (.r) op de beschouwde puntverzameling 
qnasi-iiniform convergeert. 
Convergeert deze funciierij qnasi-uniform op iedere pnntverzame- 
ling van de boven beschouwde soort, dan blijkt door een redeneering 
als in ^ 2 gehouden, dat 
/'(0) = /m/;(0). 
n— 00 
We hebben dus de volgende stelling; 
Heeft men een rij van functies ff*'), die continu zijn voor 0^x<a 
en in 0 met eindige a fgeleiden voorzien, terwijl f fe) tot j{x) 
convergeert voor 0 ‘^x ^a en de rij (0) convergeert, dan is voor 
„het termsgewijs diferentieeren in 0”, d. lo. z. voor Hm f'f^) — /’(0) 
noodig en voldoende, dat de functierij 
f* (x) = dl 
