346 
quasi-uniform convergeert op iedere puniverzarneUng . . . met 
Hm X. — 0. 
7 « 
De functie f{x) = 
- convergeert overal tot nul, dus/'(0)=0 
f* (^) = ( 0 ) = 1 . (-^. 2 /) 
« 1 -|- n X " 
1 
1 
1 + rdx‘‘ 1 -4- ny 
y)convei'geert overal tot een continue functie, dus quasi-uniform 
in ieder eindig gebied, zoodat aan het in ^ 3 gegeven kenmerk 
voldaan is. /'(O) is dan ook eindig. Maar als we e Yj kiezen en 
hebben we een eindig aantal indices, dan is voor iedere voldoend 
kleine x voor ieder van die indices ƒ* {x) Y> Vi> terwijl voor x ^ 0 
Hm f* (x) = 0. Aan het in deze § gegeven kenmerk is derhalve niet 
n=oo 
voldaan. Men heeft dan ook 
/m/J (b) = 1 7^/' (0). 
n= 00 
De behandelde stellingen zijn onmiddellijk uit te breiden tot het 
complexe vlak en worden op analoge wijze bewezen. 
III. 
5. Zij gegeven een rij van functies • • • > analjdisch 
in den cirkel j 2 | <Y n, en convergent in dat gebied. We zullen de 
volgende stelling bewijzen: 
Een noodige en voldoende voorwaarde ivaaronder de gremfunctie f 
analytisch is in | 2 |<jn bestaat in de quasi-uniforme convergentie 
van de functierij 
iy—^)fn (^’) + {^-y)fn (^) + iy) 
{x—z) (y—z) 
( 1 ) 
op iedere gesloten verzameling V {x, y, z), die met de verzamelingen 
{x = z, y zfz z) en {x z:jzz, y — z) geen punt gemeen heeft. 
Voor if? {x, y, z) kan men schrijven Y — vvaarin 
fn {u)—fn {U) 
v) =' 
U V 
( 2 ) 
Daar de analytisch zijn voor \z\ <C is xpfx,y,z) een analy- 
tische functie van x, y en 2 in het gebied Y’| a, \y\<fa, |2|<Yö!, 
mits men voor u = v stelt v) = ’t geen boven stilzwijgend 
ondersteld is. 
6. Laat gegeven zijn dat ƒ analytisch is. Zij [x^, y,, zj een punt 
van F, en x^ ^ z^, dan is y^^ z^. 
Dan is 
