347 
hm tfj {x^, y,. z,)— ^ = M’(^oi.Vo.«o)- 
In een voldoend kleine omgeving Si' van {x^ y, z,i heeft men 
insgelijks 
, (?/— ^)/('^) 4-(-v-y)/(2) + (^— .r)/(y) 
hm {x, y, z) — — =r tp (o;, y, z). 
«=« " 
Uit het analytisch zijn van ƒ volgt dat van xf («, y, 2) in Si', in ’t 
bizonder de continuiteit van ip(.v, y, 2). Geven we e en N, dan is er 
een index JSl N waarvoor 
Uit de continuiteit van en tp in Si' volgt dat er in 52' een 
omgeving Si ligt waar overal 
1 ^ I < e • • • . . . . (3) 
Heeft men ir„ = y, = 2,, dan is tp y^, 25) = 0 voor iedere n. 
Ook is tp^ continu in een omgeving Si' van {x„, y^, 2,) en als (a’, y, 2) 
de verzameling V doorloopt, is Ihn y, 2) =:= 0, zoodat ook hier 
a:=V 
y=''9 
Z=Zo 
in een omgeving Si van y^, 2,) de ongelijkheid (3) plaats heeft. 
Ieder punt van V ligt dus in een omgeving 52, zoodat in 52 F\ oor 
één en denzelfden index JSf„ aan (3) voldaan is. Daar V begrensd 
en gesloten is, kan men F met een eindig aantal van die omge- 
vingen overdekken *), waaruit volgt, dat ip^^ quasi-uniform op F 
convergeert. 
7. Laat omgekeerd de quasi-uniforme convergentie van op 
iedere F gegeven zijn. Zij 2„ een willekeurig punt, waarvoor |2o| a. 
Voor F kiezen we nu een willekeurige pnntveizameling y„, 2,), 
Vi» '^•)> y i> •^o)> • • • aiet ^ 2j, y z^, lim x^^ — x^, 
k=<n 
Km y^ = y.. 
Jt=O0 
Gegeven is dat men in ieder punt van F een keuze kan 
doen, zoodat 
I ^ 0 ) - lp ^.) l< ^ • • • • (4) 
Wegens de continuiteit van tp^ en de eindigheid van het aantal 
indices bestaat er een positief getal ö, zoodat 'voor |a';t — ^ 
en |y^ — y,| <^ö men heeft 
E. Borel. Legons sur les Fonclions monogènes, bl. 11. 
Verslagen der Afdeeling Natuurk. Dl. XXVIII. A'’. 1919/20. 
23 
