348 
Daar (a;„ y„, 2 j = O, volgt uit (4) en (5): 
I ^ ï/jfc. «.)!<« voor I |< (f en i 3/^— y, 1 < tf, 
( 5 ) 
d.w.z. 
/(^J— /(^.) f{y^—f{^,) 
x-z. 
Vk — ^^ 
<€. 
Hieruit volgt, dat 
/(■^J — /(2o) 
tot een eindige limiet nadert als 
X zifz een willekeurige puniverzaraeling doorloopt met tot eenig 
verdichtingspunt, en hieruit weer dat er een eindige /zm 
/W— AO 
X — >zo «r — 
bestaat, zoodat f {z) in z^ een eindige afgeleide heeft. Daar dit voor 
iedere \ z \ <^a geldt, volgt uit een stelling van Goürsat, dat f{z) 
anal^ytisch is in | ^ | <^ a. 
üpgemerkt kan worden, dat we hier slechts een gedeelte van de 
onderstelling gebruikt hebben. 
8. Als de rij van functies ƒ, (2), /, (2), . . ., die alle analytisch 
zijn voor | ^ | n, convergeert in een punt 2„ binnen dat gebied, 
f {x) — A(y) 
terwijl de functie f* {x,y)='— — quasi-uniform convergeert 
" ' X — y 
op elke afgesloten puntverzameling binnen \ x \ <ja,\y \ <fa, dan 
convergeert f^^ (2) voor iedere j 2 | <^ a, de grensfunctie f is analytisch 
en men heeft overal 
f (2) z= limfj (2). 
fï = 00 
Dat ƒ (2) overal convergeert volgt uit de convergentie van 
fn ~~ fn T7 
-• Voor x = y=z valt f*{x,y) samen met f'{z). Dus 
Z — z. 
ffz) convergeert eveneens. Is C een binnen | 2 | gelegen cirkel 
met 2j als middelpunt, dan convergeert fn{.z„,z) quasi-uniform in 
C. Deze functie is continu in C en valt voor z = z„ met f'^fz) 
samen. Wegens de quasi-uniforme convei-gentie is de grensfunctie 
ook continu in C. Deze grensfunctie is"^- — - voor zzfz,,. 
*=^0 ^ '®o >1=00 ” 
Derhalve is 
