349 
waaruit volgt, dat f'(z^) bestaat en ƒ ' ( 2 „) = /i'm ƒ ' ( 2 ,). Daar 
7 ï= 00 
willekeurig binnen \z\ a gekozen mag worden, is hiermee de 
stelling bewezen. 
9. Als de rij van functies fjz), ƒ, {z), .... die alle analytisch zijn 
voor 1^1 a, daar overal convergeert tot een analytische functie f{z), 
terwijl men voor iedere z heeft: 
f' (^) = /». 
dan convergeert de functie ƒ* (.r, y) = 
/„(^)— /„(.V) 
X — y 
guasi-uniforni op 
elke afgesloten puntverzameling binnen |j;[ a, \y\ <f a. 
f i-r) — ƒ(?/) 
Wegens de convergentie van ƒ convergeert ƒ * (j;, y) tot 
X y 
voor x^y on tot f\z) voor x = y — z, omdat daar f* {x,y)=ffz). 
De overal continue functie ƒ* {x, y) convergeert derhalve tot een 
functie, die wegens het analjlisch zijn van ƒ eveneens overal continu 
is. Daaruit volgt de quasi-uniforme convergentie van ƒ* {x, y) op 
elke afgesloten verzameling binnen j.r| a, |j!/| <C *• 
10. Men kan de stellingen van ^ 8 en 9 als volgt kort samenvatten ; 
Voor het termsgewijs differentieeren van een convergente reeks van 
analytische functies is noodig en voldoende de guasi-uniforme con- 
vergentie der reeks 2 f* (x, y). 
11. Als men binnen \z\ <ifa een convergente reeks van analytische 
functies ffz) heeft, zoodanig dat de grensfunctie f{z) in 0 ee7i 
eindige afgeleide heeft, terwijl de reeks ff (0, z) -f- ff (0, 2 ) -f- . . 
guasi-uniform convergeert op 0 | ^ | ^ 6 a, dan kan men de 
termen der reeks 2 [z) zoodanig in groepen vereenigen, dat de 
nieuwe reeks termsgewijs gedifferentieerd mag icorden in 0. 
Noemt men 2f (z) = S„(z) en 2 f* {0, z) = S* (0, . 2 ) dan is 
S* (0, z) continu in 0 ^ ^ | ^ en S* (0,0) = Sj (0). 
Verder is voor ] ^ | > 0 
lim S* (0, z) = 
/(^)-/( 0 ) 
=f*iO,z). 
Deze functie nadert volgens onderstelling tot een eindige limiet 
/'(O) voor z 0. 
Wij geven een willekeurig getal ^ 0 en construeeren een punt- 
verzameling Zi, 2,, . . . met lim z = 0. Uit een beperkt aantal indices 
kan men in ieder van die punten er een kiezen zoodat 
