351 
rëeele z. Beschouw de 3 rechthoekeu /„ ( — n< x<n, 
n. 
1n 
2n 
n<x< n, 
n 
^ ^ n ) en 77/,, [ — n ^x^ n , — ^ y ^ 
Er bestaat een polynoiniuin P„ ( 2 :), dat in /„ minder dan — afwijkt 
4n 
1 
van (pn{z), in /ƒ„ en //7„ minder dan — van nul. De functie P (z) 
n ” 
nadert voor 71 = cc blijkbaar tot nul in het heele vlak. Volgens de 
stelling van ^5 moet de functie xpn(-v,7/,z) quasi-uniform convei-geeren 
op iedere puntverzameling V: 7 /^, 0), P, (« 5 , .Vj, 0), . . . met 
ƒ/& 7 ^ 0, Uinx^ = 0 en lim 7/^ = 0. Dat dit het geval is blijkt 
k— 00 k= co 
als volgt: Kies een willekeurig getallenpaar t, iV. Zij ^ ^ en 
1 
tevens • Van af een zekeren index liggen en y beide 
in zoodat 
^1 ^6 
Er is dus een getal d , zoodat voor | | ^ ^ en | | ^ ^ 
Dit gebeurt dus van af zekeren index 
Verder is er een getal ^ N te vinden, zoodat TV, ^ 
4.M 
waarin M = het maximum van | | en | | » 'ni het minim.um 
1 1 
voor k =z 1 , 2 , . . . ^, — 1 , en zoodat tevens — <^ | | <^ TV, en 
y.V 1 1 \ I 
<C I ?4 |<C -^1 '^oor k = 1, 2,... 7', — 1, zoodat depunten P,, P„ . . .P*-j_i 
binnen 77jV, +7/7iv, liggen, en 
4:M 
’l’jv, h' 
<r f 
N.m^ 
Daar nu in ieder punt van het vlak P/n if’n = 0, voldoet in ieder 
punt van V één der beide indices xV, en TV, aan |ip „ — Urn | e, 
n= co 
waarmee de quasi-uniforme convergentie is aangetoond. Verder heeft 
de grensfunctie in 0 nul tot afgeleide, terwijl Iwi F ( 0 ) = + Q® ')■ 
i) Immers voor iedere n is 
(Pfi P) (fn (0! 
t' 
^ 4n’ + 2 ^ 2n*-t-l 
^ 2jr 3~ 
Daar qp' (0) = n*, heeft men |P' (0) | ^ 
n* — 1 
3 
