Wiskunde. — De Heer Brouwer biedt een naededeeling aan van 
den Heer B. P. Haalmeijer: „Opmerking over lineaire 
homogene puntverzamelingen” . 
(Mede aangeboden door den Heer Hendrik de Vries). 
We noemen een lineaire puntverzanieling jr in het interval 
AB, wanneer haar binnen een willekeurig deelinterval van AB 
gelegen deelverzameling eeneenduidig en gelijkmatig continu is af 
te beelden op het binnen het interval AB gelegen deel van Jt ‘). 
Ligt de verzameling rr in het interval AB geometrisch overal dicht, 
dan brengt zulk een afbeelding tevens een eeneenduidige continue 
afbeelding der geheele lijnsegmenten mee; zooals we zullen aantoonen, 
mogen we in dat geval onderstellen, dat elk der door de homogeniteit 
gepostuleerde afbeeldingen de richting invariant laat. Zij n.1. CDeen 
deelinterval van AB (eventueel het geheele interval AB) en E een 
punt gelegen tusschen C en D. We onderscheiden de volgende 
mogelijkheden : 
1. Voor elke keuze der punten C, Z) en Z is bij de afbeelding 
der segmenten CD en CE op elkaar, de richting invariant. 
2. Dit is niet het geval. 
Eerste geval. Moet AB worden afgebeeld op een deelinterval FH 
(volgorde van links naar rechts A, F, H, B), dan zijn volgens de 
onderstelling zoowel AB als FH met behoud der richting af te beelden 
op AH en dus ook onderling. 
Tweede geval. Er bestaat dan een interval CD dat op zijn deel- 
interval CE wordt afgebeeld met omkeering der richting. Daar het 
betreft een topologische afbeelding' der geheele segmenten, volgt uit 
het continuiteitsaxioma het bestaan van een punt 7^ (niet noodzakelijk 
tot de verzameling n behoorende), dat aan zichzelf beantwoordt. 
Hieruit volgt dan echter terstond het bestaan van een topologische 
afbeelding van het binnen CD gelegen deel van n op zichzelf met 
omkeering van den richtingszin. Eenzelfde afbeelding bestaat dus 
b Een analoge definitie van homogeniteit is door Hausdorff gegeven voor 
geordende verzamelingen, Grundz. der Mengenlehre, p. 173. Voor lineaire puntver- 
zamelingen heeft Brouwer de volgende ruimere definitie ingevoerd : men noemt 
een lineaire puntverzameling tt homogeen, wanneer voor elk puntenpaar A B dier 
verzameling een eeneenduidige continue transformatie der rechte lijn in zichzelf 
bestaat, waarbij A in B overgaat en in zichzelf. Vgl. deze Verslagen XXV, p, 1426. 
