377 
eveneens voor het binnen een willekeurig deelsegment van AB 
gelegen deel van en hieruit volgt onmiddellijk, dat bij elke dooi- 
de homogeniteit gepostuleerde afbeelding de richting invariant is te 
houden. 
We formuleeren thans de volgewdQ ■. Het lineaire continuiiin 
is niet te splitsen in twee overal dichte homogene puntverzamelingen 
met hetzelfde geometrische type. 
We geven een indirect bewijs. Stel twee puntverzamelingen n en 
.-t' van de bedoelde soort vullen het open lijnsegment AB. Nu 
hebben rr en jt' hetzelfde geometrische tjpe, d.w.z. zij zijn eeneenduidig 
en gelijkmatig continu op elkaar af te beelden. Onderstellen we eerst, 
dat bij deze afbeelding de richting omkeert. De verzameling n is nu 
te splitsen in twee deelverzamelingen en .Tj, zoodanig dat elk 
punt van jr, links ligt van het correspondeerende punt van jt' en 
elk punt van .-tt, rechts van zijn beeldpunt. Bovendien ligt elk punt 
van -Tj links van elk punt van rr,. Daar de somverzameling zt geo- 
metrisch overal dicht ligt, volgt uit het continuiteitsaxioma dat Jtj 
en .Tj een scheidingspunt R bepalen. Dit punt R kan echter niet tot 
jr, of behooren. Stel namelijk het behoorde tot dan lag het 
links van zijn beeldpunt en uit de continuiteit der afbeelding zou 
verder volgen, dat dit ook het geval was voor alle punten van üt binnen 
een zekere eindige omgeving van R, wat tegen het voorgaande 
strijdt. Het punt R behoort dus tot de complementaire verzameling 
zt' . We komen dan echter weer tot een contradictie, want het feit 
dat R öf links óf rechts van zijn beeldpunt moet liggen, is niet te 
rijmen met de omstandigheid, dat alle links van R gelegen punten 
van jt' ook links van de correspondeerende punten liggen, en de 
rechts van R gelegene ook rechts van hun beeldpunten. 
We komen nu tot de tweede mogelijkheid, dat namelijk bij de 
afbeelding van Jt op n' de richting invariant blijft. We onderschei- 
den hierbij twee gevallen : 
1. Er komen in n zoowel punten voor, die links, als die i-echts 
van hun beeldpunten liggen. 
2. Alle punten van jt liggen aan dezelfde zijde van hun beeld- 
punten. 
Eerste geval. Laat het punt van links van zijn beeldpunt P' 
liggen en P, van rr rechts van zijn beeldpunt De deelverzameling 
van JT gelegen tusschen P^ en P,, inclusief de eindpunten, stellen 
we voor door .Tj. Zij de deelverzameling van bestaande uit 
de punten, die evenals alle meer naar links gelegen punten van jt^ 
