438 
^10. Theorema s over de realiteit van ’t deellichaam ken bepaling 
van ’t getal v.. 
Als voor al de waarden van n de som èon + + • • ■ • ®ven is, 
dan is ’t deellichaam k reëel en anders imaginair. 
Bewijs : Het voortbrengend getal van k is 
als Ah) ieder getal van de ondergroep g beteekent. 
Nu is 
A\') ^ . (jnodm) 
waarbij de exponenten aan alle congruenties (3) voldoen. Omdat alle 
sommen hon + èn? + . . . . even zijn, wordt aan die congruenties ook 
voldaan door = 1 ; = 0 ; a^ = rp^-, . . . . 
Maar dan is ook 
«Oj 4“ o V,*i ) + ^(p-^1 ... . 
een oplossing der congruenties (3). Verder is 
+ ' A .... = — Art (mod 7n) 
De getallen Art en — Ab’> zijn (modm) verschillend, want was 
^{i/ = — {rnod m) 
dan zou 
2 A(*) = 0 {mod m) 
zijn. Dat kan niet want Ab) is, als getal van _</, relatief priem met ??i. 
Hiermede is nu aangetoond dat de getallen Ab) van g in paren 
'_^d) 
kunnen worden gerangschikt. Voor zoo’n paar is = reëel 
getal. Hieruit volgt dat ij reëel is. 
Het bewijs van ’t tweede deel is als volgt: Alle reëele getallen 
van ’t cirkellichaam /{ blijven onveranderd voor de substitutie 
{Z \ ■= s . Want zij zoo’n getal 
^ = «o + «1 ^ + 
dan is 
2jr sin 4 jr 
sin [- a, 1- . . . . = 0 
rn m 
en 
zoodat 
2jr 
s Si. — “h "V h . . . . 
m 
Si — 5 = 0. 
Omgekeerd : Als een getal onveranderd blijft voor de substitutie 
s dan is ’t een reëel getal. 
Hieruit volgt nu dat ieder reëel deellichaam van /f een deellichaam 
1) „W.”, p. 85. 
