440 
is terwijl = Aj — 1 als alle a^=0 zijn. Mj = 0 als niet alle 
getallen door — 1 deelbaar zijn en u^ = l als wel alle getallen 
door — 1 deelbaar zijn enz. 
Dan is 
als A* = . . . 
als A^=:2is:u> = 2“'‘>+'C''“’‘+'\... 
als A;* = 0 is : w = 2^^“'^'"'"*”'^ . . 
Bewijs : Het deellichaam k kan slechts die wortels uit de eenheid 
bevatten, die machten van zijn, omdat .ATslechts deze bevat. Alleen 
als m oneven is, bevat K ook de machten van Z met het negatieve 
teeken voorzien. Stel nu dat in k voorkomt, dan blijft dit getal 
onveranderd voor alle substituties van g.. Dus als we alle getallen 
van g Hb’) noemen, dan is 
waaruit volgt : 
ö (A(') — l)^^(modm) . (10) 
Omgekeerd : als aan deze congruentie voldaan is, voor alle getallen 
van g dan bevat ’t lichaam k de wortel uit de eenheid Z^. 
Als nu alle getallen = 0 zijn, dan bevat ’t lichaam de getallen ± i. 
Bewijs: Voor ieder getal Hb') geldt nu 
A(') 5“* {mod 2^*) dus A(0 = 1 {mod 4). 
m 
Volgens voorgaande komt in ’t lichaam dus voor, ’t getal Z^ = i. 
Dus ook — i. 
Als alle getallen «^^ = 0 zijn en ook alle = 0 dan bevat ’t lichaam 
‘2m 
Bewijs dito. Als alle getallen a„ = 0 zijn en alle getallen a# 
2iii 
hoogstens deelbaar zijn door 2“’* dan bevat ’t lichaam ’t getal 
Enz. 
Men bewijst dit alles met behulp van (10). 
Wanneer men nu nog bedenkt dat, als in ’t lichaam voorkomt 
27tt 
e^wi+i^ er ook de eerste machten hiervan in ’t lichaam voor- 
komen, dan vindt men de opgegeven formules. 
§ 11. Afleiding van de definitieve uitdrukking van het klassenaantal. 
Theorema: Als voor ieder stel A’s de som Aon + Am -l-" • • • • even 
is, dus als ’t lichaam k reëel is, dan geldt voor het aantal klassen 
H de uitdrukking: 
