Wiskunde. — De Heer Cardinaal biedt eene mededeeling aan van 
de Heeren J. A. Schouten en D. J. Struik: „Over n-voudig 
orthogonale stelsels van n — \ -dimensionale uitgebreidheden in 
een algenieene uitgebreidheid van n afmetingen.” 
(Mede aangeboden door den Heer H. A. Lorentz). 
II. 
7. De stelling van Dupin en een omkeering. Uit het theorema I 
volgt, dat de stelling van Dupin ook voor een algemeene uitgebreid- 
heid geldig is : 
De V„—i van een n-voudig orthogonaal stelsel snijden elkaar volgens 
de kromtelijnen . 
Deze stelling laat de volgende omkeering toe: 
Wanneer n — 1 onderling orthogonale Vn-i-stelsels, bepaald door de 
daarop loodrechte congruenties ii, . . . , elkaar snijden volgens een 
congruentie i,„ en de volgorde der eerstgenoemde congruenties zoodanig 
kan worden gekozen, dat de congruentie i,; in iedereVn—k-{-\ , - • , 
een congruentie is van kromtelijnen voor de Vn-k, die doorsnede is van 
deze Vn-k-{-\ met de Vn-i -L ü, k — . . . . , n — 1, dan is lood- 
recht op een Vn-i-stelsel, orthogonaal op de n — 1 gegeven stelsels 
en ii, . . . , i„ zijn de congruenties der kromtelijnen voor elk der n stelsels. 
Bewijs. Indien de fundamentaal tensor ’g van de Vn geschreven 
wordt : 
’g=:aa=bb=..., . . . . . (72) 
dan is de ideale factor a als volgt te splitsen : 
a = a' 4- a", (73) 
waarin a' alleen th, . . . , in, a" alleen ij, ... , u_i bevat. 
’g' == a' a' = b'b' =:.... is de fundamentaaltensor der V n-k-\-i J- 
i,, . . . , ifc-i en de geodetische differentiatie van een vektor v, geheel 
in die Vn-k->t-\ gelegen, is bepaald door de vergelijking: 
V'v^’g'i V (a'.v)a' (74) 
Voor xk geldt dus: 
in ^ V ifc = in I V (ii . a) a = in 1 V (i* . a') a' + in 1 V (i* . a') a" = 
= in 1 V' i* + in \ V (ii: . a') a". 
