455 
en dit is juist de vergelijking, die het eerst voor de Z?, is aange- 
geven door Lilienthal '), en waarop voor kort nog eens, eveneens 
voor de R^, de aandacht werd gevestigd door Wieringa’). Deze 
voor waarde is dus een speciaal geval van de eerste van Riccr. Verder 
geldt zij voor een willekeurig lijnelenient, en ook, hoewel niet meer 
als eenige voorwaarde, voor n > 3. 
7. De voorioaarden van Ricci. Is i„ weer i-norniaal, dan 
kan men een grondvariabele ?/" invoeren en vektoren s„ en s’„, zoodat 
1 
in — On Sn = Sn ....... (39) 
Ön 
Uit (C) en {D) (blz. 210) kan dan i;i verwijderd worden en vervangen 
door Sn. 
Daar : 
(in . V) (V ^ in) = (in • V) {dn V S„ + ^ (V 0„) S,, "b è Sn V dn j, . (90) 
is ; 
4 4 
é” ^ (in • V) (V ' ' in) én ^ I (in .'7 dn) V Sn dn in 1 W Sn d" 
-b i (V dn) in 1 V Sn 4' è (U V Sn) V dn j, 
of daai’ : 
V dn V (xSn . Sn) ^ 3<dn* * (V Sn) ( Sn — dn Un “b ^^n Sn 1 (V dn) Sn» (92) 
ook : 
4 4 
én ? (in • V) (V ^ in) — é’’ ^ { (in • V dn) V Sn ~\- On^ Sn 1 W Sn— XUnHn}. (93) 
Daar uit (31) en (69) volgt: 
ij i* 2 I 2 XT (V ^ in) 1 V inl = ij ifc 2 Un Un, 
verkrijgt voorwaarde (C") (blz. 209) den vorm : 
3 ) j 7^ ^ 
(C,) ijU? ^)CO„^ Sn 1 VV Sn — 2 Un Un j = 0 
Daar : 
. . (94) 
’ y, ^ = 1, 2, n — 1. 
V Sn V in “b f ^ 1 in i 
dn V dn 
(95) 
(96) 
is verder, in verband met (30) en (33) : 
ij i/fc ^ Vsn = 0 
waaruit door toepassing van (i .V) volgt: 
^ (i/ 1 V ij) 1 (V in) 1 ii + — (it ^ V h) \ (V in) 1 ij + 0 Uit ^ 7Vsn=0. (97) 
dn 
dn 
b R. V. Lilienthal, Ueber die Bedingung, unter der eine Flachenschar einem 
dreifach ortliogonalen Flachensystem angehört. Math. Annalen 44 (94), 449 — 457. 
*) W. G. L. WiERiNGA, Over drievoudig orthogonale oppervlakkensystemen. Diss. 
Groningen, (18) 59 bldz., zie bidz. 13. 
®) Zie noot 9 op de volgende bladzijde. 
