457 
vervuld is. Hier reduceert (D,) zich dus tot (Z>\). Voor de euklidische 
ruimte is de voorwaarde {D\) gegeven door Darboüx ^) '). Deikjn- 
kentallen van K verdwijnen oók, wanneer de Vn—i l in geodetisch zijn. 
8. De voorwaarden van Lévy, Cayley en Darboüx. Door ditferenti- 
eeren van de betrekking : 
in Oyi Sn (103) 
ontstaat : 
V ifj := (V On) Sn -|“ V Sn (104) 
Nogmaals dilFerentiëeren geeft : 
W in — (W On) Sn -f- (V Sn) ^ 3 (V On) 3 -j“ (V On) V Sn “h Sn, (105) 
en hieruit en uit (104) volgt voor VV On : 
5€ W On = On (W in) 1 in — ön’ (VV Sn) 1 in -j- (V On) (V On). (106) 
On 
Daar n u : 
(V V in) ^ in=v { (V in) | - (V in) 1 a (Vin) 1 a=r:-’h ! ’h-(Un . Un) in in,(i 07) 
is, in verband met (92) : 
4 4 
gn ? VVO„= — Xö„*hl ’h — KOn’gjj ‘f (VV Sn) ^ Sn -f 2 0„ Un Un. (108) 
In verband met (Cj) geeft dit een nieuwen vorm voor de eerste 
voorwaarde : 
G. Darboux, LeQons sur les systèmes orthogonaux et les coördinées curvi- 
lignes I (98), bldz. 130, form. (85). 
Als een eenvoudig voorbeeld van de toepassing van (Cg) en (D'j) voor een 
euklidische ruimte, kan men nemen het stelsel u= (^b + • • • 4" Yn (y^), waarin 
. ,yn Cartesische coördinaten zijn. Om goioi etc. uit te rekenen, is het noodig 
een stelsel van n — 1 Vn—i te vinden, dat in de Fn— i u = const. een stelsel 
coördinaten eo^ . . . bepaalt. Dan is y.eai . et»! = etc. Daarvoor moet men zoeken 
n—1 onafhankelijke oplossingen van de diff.vgl. 
1 , . . . , w cSii dili b • • • , ^ 
of .S- 
■ • • ' " dw öib 
^ ^ = 0, 
dy* öt/* 
Yi (y0^ = 0. 
èyi 
Voor de berekening vergelijke men bijv. Wieringa, Diss. bldz. 21 en volgende. Men 
ziet dan, dat de voorwaarde {D\) identiek is vervuld, zoodat alleen de voorwaarde 
van Lilienthal (Cg) overbiijft die in dit geval geschreven kan worden: 
Yf 
YlYi" — 2 Yi' 
1 
Yi' 
YiYl' — 2 Yl" 
Yii' 
Yii Yk" — 2 Yk'" 
of Yi Yi " — 2 Yi"^ — AYf B, waarin A en B konstanten zijn. 
Dit resultaat is voor n = d door Serret afgeleid, en voor algemeene n door 
Darboüx op een andere wijze dan hier. Vergelijk Darboux, Legons sur les systèmes 
orthogonaux etc., bldz. 140 en 141. 
