458 
i; \k 2 VV <T« — 2 KOn* * ifc 2 |sn HV 7) Sr,| = Xön ïj ifc ^ (i„ 1 K Hj?) (109) 
of 
4 
ij ik ? VV On — KOn in ij ijt in ^ K. 
ic,) 
4 
Voor een Vn, waarvoor de (nkjn) kentallen van K verdwijnen, 
kan dus de eerste voorwaarde worden geschreven : 
ij ik ^ W ön — 0. 
iC\) 
Deze vergelijking drukt uit, dat de tensor VV(7,i dezelfde hoofd- 
richtingen heeft als ’h. De meetkundige beteekenis van On is, dat 
deze grootheid evenredig is met den langs in gemeten infinitesimalen 
afstand van opvolgende Fn-i J. in- 
In een ruimte met konstante RiEMANN’sche kromming /f, is, in 
verband met (101): 
b i* 2 j i„ 1 K 1 in} = - K, \j ik 2 (K’g - in in) = 0, . . (110) 
waaruit volgt, dat in deze ruimte de eerste voorwaarde den vorm 
(C/) heeft, in het bijzonder is dit dus het geval in een euklidische 
ruimte. In dit laatste geval is ze voor 7i = ‘ó afgeleid door Levy ^), 
Cayley'^) en Darboux*), en voor algemeene waarden van 7i door 
Darboüx^). De noodzakelijk en voldoende voorwaarden voor ruimten 
van konstante kromming zijn dus (6V) en {Df. 
9. De voorwaarde va7i Weingarten. We zoeken een vorm der voor- 
waarden, waarin alleen i„ voorkomt, en niet meer de 2, . . ,n — 1. 
Wordt een tensor, wiens hoofdriehtingen niet met die van ’h samen- 
vallen, eenmaal met “h overschoven, dan ontstaat een affinor, 
waarvan het alterneerende deel zeker niet nul is. Als voorwaarde 
voor het samenvallen der hoofdrichtingen kan dus gesteld worden, 
dat het alterneerende deel van de eerste overschuiving met ’h ver- 
dwijnt. (109) is dus aequivalent met: 
4 4 
5 g (7 t.) 1 (V V On) - On (V in) In 2 R ^ b | = 0, . . (111) 
waarin B aanduidt, dat het bivektordeel genomen moet worden. 
b M. Lévy, Mémoire etc., bidz. 170. 
b A. Cayley, Sur la condition pour qu’une familie de surfaces fasse partie d’un 
système orthogonal, Gompies Rendus 75 (72), een reeks van verhandelingen. 
*) G. Darboux, Sur l’équation du troisième ordre dont dépend Ie problème des 
surfaces orthogonales. Comptes Rendus 76 (73) 41 — 45, 83 — 86. 
*) G. Darboux, Legons sur les systèmes orthogonaux etc., bIdz. 128. De formule 
(32) daar is onze formule (C' 4 ). 
