459 
Daar nu ; 
Vl(Vin)’ (V(Tn)j = (VVin)l V dn + E (V In) ^ (a . V) V (?n, (112) 
i6 : 
4 
V-|(7in)l V<J„} = SV|(Vin)( 7<J„| = V, K ! InVdn-^ (7in) 1 77 <t„,(113) 
zoodat (111) aequivalent is met: 
4 r 14 4 1 
— ((7in) 1 7 2 K ? in 7 On — O» S in) in ^ 
K 1 in 
=0. (114) 
Daar in een ruimte van konstante kromming tengevolge van (92) 
en (101): 
4 4 4 4 4 
g ! K ! in 7 (7„ = - g 2 K 2 i„ u„ — - 2 (Tn A'o g 2 in - Un = 0, (115) 
luidt de voorwaarde voor een dergelijke ruimte, in verbant! met 
(110), dat de kornponente van 7 |(7in)l 7(Jni in het gebied j. i,, 
verdwijnt. Daar echter wegens de wet van Stores ‘) voor iederen 
vektor v geldt; 
ƒ' 
\ . dx = 
(116) 
waarin s een gesloten kromme is en ,fdrf de bivektor van het opper- 
vlakte-element van eenig door die kromme begrensd oppervlak o, 
volgt hieruit, dat in een ruimte van constante RiEMANN’ó'c/iö kromming 
als eerste voorioaarde ook gesteld kan worden het verdwijnen van de 
lijnintegraal van den vektor (7in)l 7(7n over iedere gesloten kromme 
in een Fn_i ± in. Deze voorwaarde is voor een F', de eenige. Voor 
een is zij het eerst aangegeven door Weingarten ’) en Ricci heeft 
naar aanleiding van Weingarten’s werk opgemerkt, dat de voor- 
waarde ook geldt in een Vt van konstante kromming. *) Uit het 
bovenstaande blijkt, dat de voorwaarde, doch niet meer als eenige, ook 
geldt voor uitgebreidheden van konstante kromming, waarvoor ^ 3. 
10. Onderling orthogonale Vn—i-stelsels door een gegeven kongruentie 
b Verg. A. R., bldz. 37 en 61. 
2) Weingarten, Ueber die Bedingung, unter welcher eine Flachenfamilie einem 
orthogonalen Flachensystem angehört. Grelle 83 (77), 1 — 12. 
®) G. Ricci, Della equazione di coudizione pei parametri dei sistemi di superficie, 
che appartengono ad un sistema triplo orlogonale. Rendiconü Acc. Lincei Ser. V, 
Ilk (94) 93—96. 
Ricci merkt voor het geval n = 3 op, dat de stelling van Weingarten ook geldt, 
4 
zoo K den vorm heeft: 
K = M (a ^ b) (a ^ b) + r (i^^ i,) (ij ^ i,) 
zoo V een willekeurige coëfficiënt is. Dit geldt echter ook voor algemeene waarden 
van n. 
