462 
de verandering van den vektor in, wanneer deze langs den rand 
van het oppervlakelement da geodetisch is rondgevoerd '). (^,) eischt 
dns dat deze verandering in het gebied van i^; en i/ valt ’). 
In een gebied van konstante kromming is de voorwaarde [E^ 
altijd vervuld, tengevolge van de opmerking, bij de bespreking van 
(Z>"i) gemaakt. 
We hebben dus het volgende theorema verkregen : 
III. Een stelsel van oo‘ in een V„, welker tweede fundamen- 
taaltensor behalve op bepaalde V,-, r <C n, q eenduidig bepaalde hoofd- 
gebieden R ^ heeft, doch binnen de gebieden van meer dan één 
afmeting geen eenduidig bepaalde hoofdrichtingen, behoort dan en alleen 
dan tot een n-voudig orthogonaal stelsel, indien bij een verplaatsing 
loodrecht op m der hoofdgebieden de komponenten van de geodetische 
differentiaal van in de door deze m-gebieden bepaalde uitgebreidheid 
hoofdgebieden heeft, die met de m genoemde hoofdgebieden van samen- 
vallen, en indien bovendien bij het geodetisch rondvoeren van i„ langs 
een in eenig hoofdgebied gelegen oppervlakteelement de toename van 
i„ geheel in ditzelfde hoofdgebied valt. 
12. Voorwaarden, noodig opdat een Vn n-voudig orthogonaleYn-v 
stehels kan bevatten. 
De voorwaarde [Dj) is een voorwaarde voor de Fn, waarin het 
?«-voudig orthogonale stelsel moet liggen. Wenscht men, dat ieder 
stelsel van n onderling loodrechte (n — l)-richtingen in ieder punt 
der Vn tot een n-voudig orthogonaal Fn_i-stelsel kan belmoren, dan 
is het noodig' dat D'\ voor ieder stel van vier onderling loodrechte 
i 
eeidieidsvectoi'en geldt. Men kan bewijzen dat daartoe K van den 
vorm 
4 
K = (a ^ z) (a -- z) 
(F) 
4 
moet zijn, waarin z’ een willekeurige tensor is. Voor n = 3 kan K 
altijd in dezen vorm gebiucht worden en ieder stel van drie onder- 
ling loodrechte richtingen in eenig punt kan dus belmoren tot een 
drievoudig orthogonaal stelsel, een eigenschap, die reeds aan Cotton ®) 
bekend was. 
1) A. R. bldz. 64. 
2) Een soortgelijke meetkundige interpretatie is ook aan voorwaarde {Dj') te 
verbinden. 
E. CoTTON. Sur une généralisation du problème de la représentation conforme 
aux variétés a trois dimensions Gomptes Rendus 125 (97) 225 — 228, vergelijk ook 
E. Gotïon, Annales de Toulouse 1 (99) 385 — 438, Gliap. III. 
