Wiskunde. — De Heer W. Kapteyn biedt eene raededeeling aan : 
,,Over eene formule vari Sylvester”. 
Onder den titel: “On the partitioii of nnmbers” heeft Sylvester 
in the Quart. Jonrn. of Math. I (1857) p. 141— 152, eene aigemeene 
formule gegeven voor het aantal oplossingen in positieve geheele 
getallen (nul inbegrepen) van de vergelijking 
+ «i ‘«5 + «r = a (1) 
waarin de grootheden n en a bekende positieve getallen voorstellen. 
Deze formule, die zonder bewijs is medegedeeld, toepassende opeen 
bijzonder geval, kwam ik tot het ongerijmde resultaat dat het aantal 
oplossingen een gebroken getal zoude zijn. Dit gaf mij aanleiding 
naar een bewijs te zoeken en daarbij vond ik, zooals uit het volgende 
zal blijken, dat de bedoelde formule eene kleine verbetering behoeft. 
Wanneer men de breuk 
1 1 
= . ... (2) 
<1* [x] (1 — .«“l )(1 — . . (1 — x^^r) 
naar opklimmende machten van x ontwikkelt, dan vindt men voor 
den coëfficiënt van juist het aantal gevraagde oplossingen van de 
vergelijking (1). Het ligt dus voor de hand om bovenstaande breuk 
in gedeeltelijke gebrokens te ontbinden en ieder dezer naar opklim- 
mende machten van x te ontwikkelen. Daartoe moeten we eerst de 
verschillende factoren van den noemer en liiinne aantallen bepalen. 
Schrijven we de vergelijking die alleen de primitieve wortels van 
1 — ,)?”* = 0 bevat ,1 — x’'‘ = 0 en noemen we de deelers van m : d^, 
(f, . . . d]c isf = 1, tifc = m) dan is 
k 
1 — /7 1 xdi ( 3 ) 
Om dit te bewijzen stellen we 
m~ p^- qi^ . . U- 
aannemende dat p, q, . . . t de ondeelbare factoren van m. voorstellen. 
De deelers van m zijn dan de termen van het produkt 
(^1 + . . (^1 + 
Nu heeft de vergelijking j — xA — Q waarin r/ = p" f/'' . . . /^ een 
aantal primitieve wortels gelijk 
