556 
Sei y eiiie der geiiaiuiteii Kui ven ; da das innere, d. h. keinen Bild- 
punkt von 7^ entlialteiide Gebiet voii y bei jeder es invariant lassendeii 
Transformation von G einer Potenz derselben Drehung unterworfen 
isf, so kann man R' mit dern im Innern von y existierenden einzigen 
Fixpunkt S (der nicht mit Q zusammenfallen kann) dnrch einen 
seine Bilder nicht trefFenden Weg verbinden, welcher mit dem Bogen 
PR' von h zusammen einen seine Bilder ausserhalb der Fixpnnkte 
von G nicht trefFenden und zwei Fixpnnkte verbindenden Weg c bildet. 
Die Bilder von c zerlegen die Kugelflache in Elemente ; falls eines 
dieser bei einer Transformation von G invariant, also einer Drehung 
unterworfen ist, so kann man einen Fixpunkt seiner Grenze mit dem 
in seinem Innern liegenden einzigen Fixpunkt T durch einen seine 
Bilder nicht trefFenden Weg d verbinden. Die samtlichen Bilder 
von c und d ergeben zusammen ein bei G invariantes Sj^stem 7? von 
folgender BeschafFenheit ; 1. 77 zerlegt die Kugelflache in Elemente, 
von denen je zwei aqnivalent sind und jedes nur bei der Identitat 
invariant ist; 2. jeder Fixpunkt von G liegt auf 77; 3. jeder Punkt 
von 77, der zu rnehr als zwei Bogen von 77 gehort, ist ein Fixpunkt 
von G. Die Anzahl der Elemente, in welche 77 die Kugelflache 
zerlegt, ist n ; die Anzahl der nicht aquivalenten Fixpunkte ist 3, 
ihre gesamte Anzahl ist also, wenn r,, iq, v^ ihre Multiplizitaten 
anzeigen, gleich n { ^ 1 ); die Anzahl der Kanten jedes 
Vv, V, vj 
Elementes ist 4, also die gesamte Anzahl der Kanten 2n. Mithin 
besteht nach dem EuLERSchen Polyedersatz die Formel 
n 1 2 
n ^ 2 n — 2, oder ^ — = 1 , 
V. r . n 
I t 
woraus sich die bekannten Lösungen ergeben ’). 
Mittels der gleichen Methode werde ich die BROUWEHSchen Resultate ’) 
in bezug auf die endlichen Gruppen von topologischen Transformationen 
des Torus herleiten. 
q Klein, Vorlesungen über das Ikosaeder, S. 119. 
») G. R. t. 168, S. 845 (28. April 1919). 
