19 
Uit die schrijfwijze volgt dan echter dat zij vervangen kunnen 
worden door de invarianie vergelijking: 
r ^ s V (wi . ... ^^g) = r ^ s ^ gVf = 0, 
of, zooals hieruit volgt, nog eenvoudiger, zonder gebruik te maken van 
twee hulpvektoren : 
p\ 2 y ^ = 0. 
Aan deze vergelijking is hier echter identiek voldaan, daar ^'-'gW 
een veelvoudensom is van isomeren van \jqW, en V'/^ 
Daar de vlakke pj afmetelijke raakruimten in de verschillende 
punten der uitgebreidheden Fj p^-richtingen hebben, die door geo- 
detische verplaatsing in elkaar en in de invariante p^-richting in 
O, doch nooit in een andere richting kunnen overgaan, kunnen twee 
ruimten Pj elkaar dus nooit snijden. Een in geodetische lijn, die 
een lijnelement gemeen heeft met een bepaalde ruimte Pj, valt 
blijkbaar geheel in die ruimte en is ook in die ruimte geodetisch. 
Twee verschillende ruimten Pj kunnen elkaar dus ook nooit raken. 
We noemen daarom de Pj -ruimten parallel. Daar, zooals bewezen 
zal worden, iedere geodetische lijn, die twee punten met een Pj- 
ruimte gemeen heeft, geheel in die ruimte ligt, noemen we een 
Pj-ruimte geodetisch. De r verkregen stelsels van parallelle geodetische 
ruimten Pj, . . . , P^ staan in ieder punt van Xn volkomen loodrecht 
op elkaar. 
We beschouwen nu eerst het geval r=2, p^ = p, p^ = q. De 
{n — l)-afmetelijke parameterruimten der oervariablen x' xp leggen 
we zoo, dat ieder oo«— i ruimten P bevat, die van xr+'^, . . . , a”' 
evenzoo ten opzichte der ruimten Q. In ieder punt brengen we weer- 
de onderling volkomen loodrechte p- resp. ^'-vektoren en gW aan. De 
maatvektoren e\, k = 1, . . . , p liggen dan in en voor de maat- 
vektoren e^,., n = p 1, . . . , n geldt hetzelfde ten opzichte van gW. 
Daar algemeen ± is 
gy.p. Êx 
X = 1, . . . , p 
g = p -\- 1, . . . n 
en de quadratische vorm ds^ kan dus geschreven worden 
2 gxj, d.v'^ dx'' -|- ÜE ffav dxP dx'' 
y.,) /j.,v 
We zullen nu aantoonen dat onafhankelijk is van ^/'+P . . . , a-” 
en evenzoo g^^ onafhankelijk van x\ . . . , Xp. Er kan altijd een skalar 
k als functie van x\ . . . , x'^ gekozen worden, zoo dat: 
2* 
