Mathématiques. — „Nouvelle démonstration du théorhne de iovcüK^ 
sur les courbes planes" . Note de M. Ahnaud Denjoy, présentée 
par MM. L. E. J. Brouwer et Hk. de Vries. 
Le théorème fondaniental de Jordan sur les courbes fermées peut 
s’énoncer ainsi : 
Si les points d’un ensemble F et ceux d’im eerde se correspondent 
réciproquement et continument, chacun a chacun, l’ ensemble F divise 
le plan en deux végions. 
L’hypotlièse faite sur F caractérise une courbe de Jordan. Je me 
propose dans cette Note de donner une démonstration du tliéorème 
ci-dessns énoncé. Je rappellerai d’al)ord certaines définitions et résul- 
tats connus. 
Nous caractérisons comme il snit les cotés positif et négatif 
en un point I d’une ligne HIK formée de deux segments de 
droite Hl, IK, dont I est le seul point commnn. Décrivons, dans 
le sens direct des rotations, un are circulaire inférieur k 2 1 , de 
centre J, ayant son origine sur IK et son extrémilé snr HL Cet 
are borne, avec /7/ et / K, un secteur de eerde a>. Soit L un 
ensemble continu, tel que, a rintérieur d’un certain eerde c de 
centre I et de rayon inférieur a celui de to, L et Hl K aierit 
seulement I en commun. Nous dirons que, au voisinage de /, L 
est situé du cóté positif de la ligne HIK (ou dn cóté négatif de la 
ligne KI H) si les points de L intérieurs a c et distincts de I sont 
tous dans o). 
II est aisé de voir que, si IK' est du cóté positif de HIK, IK 
est du cóté négatif de HIK'. 
Si I est un point non extréme d’nne ligne brisée X simple (c’est- 
a-dire telle qu’ un point quelconque de la ligne n’appartient a deux 
cotés différents que si ce point est origine de run et extrémité de 
l’autre), pour définir les cotés positif et négatif de A en I, nous 
considérons un secteur de eerde analogue a to, limité au coté (ou 
aux deux cotés) de X contenant 1, et ne rencontrant ancun autre 
cóté de X. 
Soit P un polygone simple, défini avec son sens de parcours. On 
montre (voir Comptes Rendus de I Académie des Sciences de Paris, 
1911) que P divise le plan en deux régions (nous les appelons 
respectivement positive et négative, et les désignons par P+ P~), 
