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telles que tont (‘ontijiu joigiiaiit uii de leiirs poiiils M aii polygone 
F, atteint celui-ci dn cdté positif pour P+, du coté négatif pour /* . 
A B étaiit deux points de la ligue brisée déerite en [)areouraut 
F selon son sens, de A a B are direct A B Aq F. \darc retrograde 
AB est géométri(piement identiqiie a l’arc direct BA, mals les sens 
de parcours des deux ares sout opposés. 
Pour démontrer Ie théorèuie de M. Jordan, nous ntiliserons Ie 
lemuie suivant: 
Si, en parconrant une fois nn poiygone F dans un sens invariable, 
on rencontre snccessivenient les (juatre points A, B, C, D de ce 
poiygone, et si {AC), {BD) sont deux continus joignant respectivernent 
A d C, B d I), et dont tons les points, sanf A, B, C, D, sont dans 
une inènie région limitée j>ar Ie poiygone, ces deux continus ont au 
nroins un point coniniun. 
Supposons d’abord que {AC) soit uue ligue bi'isée simple. Ou 
peut toujoui-s choisir Ie seus positif de parcours de F, de fa(;ou (pie 
la régiou de F coiiteuaut {AC) el {Bü), sanf leurs extréiuilés, 
soit P+. 
Cousidérous alors Ie poljgoue n formé de l’arc direct CA de F, 
et de la ligue {AC) parcourue de A vers C. {AC) atteiguaut F eu 
A et C du cbié positif, l’ar'C direct AC de F s’écarte de jr du cólé 
négatif eu A et C. Douc, D qui est sur eet are est dans u.—. Mais, 
F et Jt ayaut eu commuu l’arc CA qui coutient B, les ebtés positifs 
de F et de au voisiuage de B coïucideiit. Douc Ie coutiuu {BD) 
est, au voisiuage de B, dans 7 t+. Ou en déduit que (P7J) rencontre 
JT eu uu point ditFéreut de B. Coiniue {BD) ue rencontre pas l’arc 
CA, {BD) rencontre {AC). 
Supposons que ni {AC) ui (SZ)) ne soieut des ligues brisées simples. 
Si ces continus u’out pas de points commuus, leur distauce ininimuin 
est uu uombre positif «. Ou remplace Ie continu (^C) par uue ligue 
brisée simpte A d’extréinités A et C, située, sanf pour ces deux 
points, dans F+ comme Pest {AC), et ayant tous ses points a uue 
distauce de {AC) inférieure a a. D’après la première partie de la 
démonstraliou, X rencontre {BD). Nous aboutissous douc a uue 
contradictiou. Douc {AC) et {BD) se reucontrent dans tous les cas. 
Nous déduirous de ce lemme une propositiou essentielle. 
Soit r une courbe de Jordan et O la circonférence de eerde 
correspondant ponctuelleraent a F. Si un point décrit O dans Ie 
seus direct, nous dirons que Ie point homologue de F décrit rdans 
Ie seus positif. On éebange Ie seus positif de parcours de F en 
ti-ansformaut Ie eerde O en lui-même par une symétrie par rapport 
a nn de ses diamètres. Cela posé, 
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Verslagen der Afdeeling Natuurk. Dl. XXVII. A". 1918/19. 
