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r. Soit 4,a un iioinbre interieur a la distanee de A a r, el a la 
distance i-ectiligne P Q. e étant moindre que «, considérons dans 
un quadrillage de coté e Ie poljgone d’approximation de F, dont 
la région positivo contient 31 et N. A partir de P et de Q, les 
segnients P 31, QN renco.ntrent jr anx premiers points respectifs 
31 ^ et jVi- Soit la plus grande des deux longneurs 3^^ P et 
N\ Q. d tend vers zéro avec f. Si d ^ <C (^“liacnn des arcs 
directs 3l^ N^, iV, 31^ de jt, il existe des sommets, respectivement 
H, K, tels que les segrnents H H' , KIP les joignant a leurs cor- 
respondants définis plus haut, ne coupent ni 31^ P ui Q. Alors, 
d’après Ie lemme, //' et K' sont séparés sur F par P et par Q. 
Cela posé, a un sonimet H de l’arc direct 31^ de jt, faisons 
correspondre P ou Q ou H' , selon que H H' rencontre M^P on 
3'!^ Q, on ni Tnu ni l’autre de ces segrnents. Alors, a la suite des 
som'mets de l’arc Jfj iVi correspond une suite de poirds de F, tels 
que la distance de chacun d’eux au suivant est inférieure a 2d -j- 
Tous ces points sont sur un mêrae are P Q de F, puisqu’ aucun 
d’eux n’est sur l’arc P Q contenant K' . 
De raême, sur ce dernier are, nous pouvons former entre P et 
Q une chaine de points, felle que la distance de chacun d’eux au 
suivant soit inférieure a 2dd-5f, chacun de ces points étant d’ail- 
leurs distant de moins de 2e d’un sommet de jt. Nous déduisons de 
la les deux corollaires suivants: 
1° Toiite région liinitèe par F adniet pour fronliere la totalité de F. 
Car Ia région contenant 31 et N adinet pour frontière chacun 
dès deux arcs P Q de F. 
2” 31 et JSl étant dans une méine région de F, P et Q étant sur F et les 
segrnents 31 P et N Q étant sans points non e.rtrêmes conimuns, ni avec F, 
ni entre eux; qiiel ([ue soit Ie nombre positifp, il est possible de trouver 
deux Ugnes brisées ?.,P dont tous les points sont étrangers a F et 
situés a une distance inférieure a i], respectivennent de Tarc direct 
P Q et de l'arc direct Q P de F, les extréniités de chacune des deux 
Ugnes ),,P étant, F une sur 31 P, l’autre sur Q- 
En particulier, si 31, JK et Tun des arcs PQ sont intérieurs a un 
eerde c, on peut joindre 31 a N par une ligne brisée ne rencon- 
trant pas F et intérieure a c. 
De ces corollaires nous tirons les propositions suivantes : 
1“ 2’oute courbe de Jordan admettant un are reciiligne divise Ie 
plan en deux régions. 
En effet, soit I Ie milieu de l’arc rectiligne direct HK a[)parle- 
nant a r et a> un eerde de centre I ne contenant aucun point de 
l’arc KH de F. I^e diamètre H K divise to en deux demi-cerdes 
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