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to, e( to,. L’intérieur de to, fait partie d’une rnême région liraitée 
par r. De même rintérieur de to, appartieiit a une raême région ?•, 
limitée par F. D’ailleurs, toute région limitée par F admet / pour 
point frontière, donc possède des points dans to, donc dans tOj ou 
dans to,. Elle coïticide donc avec r, on avec r,. 
Je dis que . 7’i et r, sont distincts. Sinon, soient o, et «, deux 
points sjniétriques par rapport a l, et respectivement intérieurs a 
to, et è, to,. S’il était possible de joindre a tr, par une ligne 
brisée sim[)le X ne rencontrant pas F, on pourrait choisir A sans 
points communs avec Ie segment tf, tq en deliors de ses points exlrêmes, 
et en ajoutant a A Ie segment o,»,, on obtiendrait nn polygone fermé 
'öT. Le segment H K et Ie cdté tqo, de se conpent en leur milieu 
l. D’ailleurs H K ne rencontre plus w. Donc, H et K sont dans 
deux régions ditféreutes de w. Donc, l’arc direct K H de /''rencontre 
ttr, et comme eet are ne rencontre pas le segment il rencontre 
X, ce qui est contraire a riiypothèse. La proposition est donc démontrée. 
2“ l^oute courbe de Jokdan divise le plan en deux régions. 
Soit J un point quelconque de F. Soit c nn cei'cle de centi-e J 
et laissant a son extérieur nn point de F. 11 existe un eerde c' 
concentrique et intérieur a c, tel que, si est nn point de /'intérieur 
a c' , run des deux ares P J de F est intérieur a c. La même 
propriété est dés lors vérifiée pour l’un des deux ares P Q, si P et Q 
sont a la fois sur F et dans c' . 
II est possible d’entourer /v„ d’nn eerde c" extérieur è, c et tel 
que, si « et d sont deux points de F intérieurs a c", l’un des deux 
ares ft é de F est extéi'ieur a c. Le segment a rencontre en général 
F en d’autres points que n et d, peut-être même en une inünité de 
points. Cenx-ci forment sur le segment ad mi ensemble fermé. Soit 
HK un intervalle contigu a eet ensemble. Le segment HK est une 
corde de F. Ses extrémités senles font partie de F. L’un des deux 
ares HK de F est extérieur a c. L’autre contient J. On peut, quitte 
a échanger les dénominations de // et de A^, supposer que ce dender 
are est l’arc direct KH de F. 
Soit r, la courbe de Johdan obtenue en ajoutant a l’arc direct 
KH de F, le segment rectiligne HK. Dans c, F et r, coïncident, 
pnisqne ces deux courbes différent uniqnement par leni-s ares directs 
HK, l’un et l’autre extérieurs kc. 
Fj divise le plan en deux régions admetlant rune et l’antre J 
pour point frontière. Soient M et iV deux points appartenant respec- 
tivement a ces denx régions et contenus dans c'. Joignons M et N 
a J. Soient, a parlir de M et de N respectivement, P et Q les 
deux premiers points de rencontre obtenns avec F. Les segments 
