Wiskunde. — De Heer Lokrntz biedt eene mededeeling aan van 
den Heer H. B. A. Bockwinkkl : ,JJj)7nerkhigen. over de ont- 
ivikkeJing van. een fnnksie in een fakn/teitreeks. I”. 
(Mede aangeboden door den Heer Kluyver). 
1. In zijn boek „Theorie der Garninafnnktion” komt Niki.skn 
tot rle opstelling van de noodzakelike en voldoende voorwaarden 
voor de ontwikkeling van een fnnksie in een fakulteilreeks. Volgens 
hem geldt de stelling ; 
De noodzakelike en voldoende voorwaarde voor een fnnksie 
D), om in een fakidteifi'eeks te kunnen worden ontwikkeld, 
bestaal daarin dat men (.r) kan voorstellen als bepaalde integraal 
van de vorm 
1 
(1) 
o 
waarin fp (t) een fnnksie is met de volgende eigenschappen: 
1°. (p d) is regulier binnen een sirkel met de oorsprong tot 
middelpunt en een straal die niet kleiner is dan 1, en kan daar- 
binnen dus in een machtreeks 
= «o + + . • . -f «»<" + ...• . • . . (2) 
worden ontwikkeld. 
2°. Is (pd')[t) de eerste afgeleide van (p{t) die voor / = 1 oneindig 
groot wordt, dan bestaat er een reëel getal ^ zodanig dat men heeft 
Zim (ƒ(/')(/)- (3) 
/=! 
1) Met deze schrijfwijze wordt bedoeld dat men zal hebben Jim (1 — + ^ 
t = i 
(Z) = 0 of co, al naarmate > 0 of < 0. We zullen dit uitdrukken door te 
zeggen is voor Z=1 equivalent met ( 1 - Daar 'A;')(l) oneindig 
ondersteld is, heeft men A+p> 0. Uit een bekende stelling (Dini, Grondlagen für 
eine Theorie der Funktionen einer reellen Grosse, p. 104) volgt verder dat, indien 
yt) zelf eindig is voor t — \, en dus py 1, men moet hebben A + p<l. Immers, 
was Ad-p>l, dan zou volgens die stelling voor Z = 1 equivalent zijn 
met (1 — en dus eveneens oo, in strijd met de onderstelling, dat 
de eerste afgeleide is, die oo wordt voor Z=^l. Men heeft dus 
0<A+P<1. voor i:) > 1 (4) 
waaruit volgt dat A in dit geval nooit posZZte/’ is. Is daarentegen ^(Z) zelf oo voor 
Z= 1, dan is hij volgens (3) equivalent met (I — Z)~', en is A dus niet negatief. 
