183 
3°. Er is een reëel getal /' iiiel de eigeiiscl)a|) dal iiieii hij ieder 
voorgeselireven klein getal e een geheel getal N kan kiezen zodanig 
dat, u7iiform in een interval 0 < ^ < (f, dat men overigens zo klein 
kan denken als men wil, 
r/ (")(<)(] «yl-» 
< 
> 
voor a > 
(5) 
al naarmate R{x)'^X' of K(,?’) ondersteld wordt. 
De faknlteitreeks die aan een integraal van de vorm (1), waarin 
(p {t) de genoemde eigenschappen heeft, beantwoordt is 
a. a, 2/ a, n! a,, 
-H ^ i ^ h---H ^ k---. (ö) 
waarin , a.^, ... de koeftisienten zijn van de bovengenoemde 
machtreeks (2', waaraan (p {t) binnen de sirkel (0,1) (d.i. de sirkel 
met ^ = 0 tot middelpunt en straal 1), of binnen een groteie sirkel, 
gelijk is. 
Deze faknlteitreeks zou nu, volgens Niei,sen, konvergeren voor 
zodanige waarden van x dat tegelijkertijd aan de beide voorwaardeji 
U{x) > en R{x) > ;i' (7) 
voldaan is, en indien een van beide karakteristieken en /' niet 
negatief is, dan zon de reeks (6) de integraal (1) vooi’ de genoemde 
waarden van x voorstellen. ') 
Uit de eerste ongelijkheid (5), toegepast voor t=0, valt, als men 
in aanmerking neemt dat 
a„ 
~nJ^' 
(9) 
gemakkelik af te leiden dat de reeks (6) absoluut konvergeert voor 
b Indien X en X' beide negatief zijn, en dus volgens de noot op p. 1 ^(0 eindig 
voor t = 1, dan heeft de integraal (1) in ’t algemeen sleclits betekenis voor 
R{x) > 0, en geldt de gegeven uitspraak alleen voor deze waarden van x. Men 
kan dan evenwel de integraal 
^p{x) 
d 
' ipU‘\t) (1 — ^ dt 
4r+l)...(.r + p^ 
. (8j 
o 
beschouwen, die wèl betekenis heeft voor R(x) > A. Hieraan beantwoordt een be- 
paald restdeel van de reeks (6), n.1. 
(?+!)• 
1) + a;(.r + l) . . . (a’+p f I) 
(8') 
en de integraal (8) zou dan gelijk aan dit restdeel zijn voor de door (7 ) bepaalde 
waarden van x. 
