185 
Niklsen leidt iin uit de voorwaarde onder 2° at' dat de bovenste 
van de ongelijkheden (5) voor een interval d ^ 1 zal gelden, 
indien Rix) j>. P.. Hierbij kan rf willekeurig klein gedacht worden ; 
natuui'lik moet men zich voorstellen dat de keuze van het gehele 
getal daardoor be'invloed wordt, en dat dit wel onbepaald zal 
toenemen met l d. Om die reden moet Nielsen in een Jiieuwe 
voorwaarde 3“ nog weer apart uitspreken dat de ongelijkheid (5) 
ook voor een interval 0 <^<d geldig is, indien R{x) > . Maar 
uit het zo even genoemde betoog volgt nu dat de restintegraal (11) 
zeker tot nul nadert, bij onbepaalde toename van n, als zowel 
i?(.r) >/'+!, en 1 + 1 .... (12) 
Immers, men kan schrijven 
o 
en daar R{x — 1) zowel groter dan X' als groter dan X is, is dus de 
integrand in het interval 0 < ^ < 1 uniform gelijk aan nul voor = cc. 
Meer kan men o.i. nit de beschouwingen van Niei.sen niet atleiden. 
Het is eigenaardig dat de schrijver in zijn leerboek de gelijkheid 
(10) foutief geeft, en wel zó dat onder het integraalteken een afge- 
leide van (Rt) voorkomt waarvan de orde een eenheid te hoog is; 
daardoor zou men tot het besluit komen dat de ontwikkeling geldig 
is onder de door hem genoemde voorwaarden (7). Men zou dus 
kunnen menen dat hier de reden te zoeken is van de ongerechtigde 
konkluzie. Maar in een verhandeling die Nielsen in de Ann. de 
l’École Normale (1902) gepubliseerd heeft staat de formule (10) wél 
juist, en trekt hij toch zonder meer zijn konkluzie. Het zou van 
belang geweest zijn, als Nielsen hier wat uitvoeriger uiteengezet 
had hoe hij daartoe komt. Het is niet onmogelik dat hij, door zijn 
voorbeeld (en misschien meerdere) daartoe gebracht, bij vergissing 
gemeend heeft, zijn gevolgtrekking zo maar te kunnen maken. 
3. Is het teoiema van Nielsen niettemin juist, dan is er natuurlik 
alle reden om, naast de karakteristiek A', ook nog de karakteristiek A 
in te voeren. Maar toch lijkt het ons niet ondienstig om te tonen 
dat men de ontwikkelbaarheid van de integraal (1) in een absoluut 
konvergente fakulteitreeks reeds bewijzen kan enkel op grond van 
de voorwaarden onder 1“ en 3“, en dan voor R[x)'^X' -j- 1. We 
zullen de voorwaarde 3° zelfs iets beperken: niet aannemen dat de 
daarin voorkomende ongelijkheid voor een z ker klein interval {Q,ö) 
van t bevredigd is, maar enkel dat dit voor het beginpunt t = 0 
