J87 
Dus lieeft men uniform in het interval O < ^ 1 
(1 - 
r(/ + (f+n-t-ir" 
<fe, voor nf>N . . . (17) 
hierin is cp (t) de natnnriike majorant van (p {t) bepaald door 
ffii)— l^ol + l^il ^ ■ H“ fu\t”- d- • . . 
Dezelfde ongelijkheid geldt a fortiori voor (p [t) zelf, en daar rf 
willekeurig klein te denken was, zo volgt hieruit dat de restintegraal 
(11) voor n = cc nul tot limiet heeft, indien /7(.r) j> A' -(- J , en dat 
dus voor deze waarden van x ontwikkeling van de integraal (1) in 
een fakulteitreeks mogelik is. Dat die reeks voor deze waarden van 
X absoluut konvergeert, is, zoals we al eerder hebben opgemerkt, 
eveneens onmiddellik uit 3a" af te leiden. 
4. We maken de volgende opmerkingen. 1". We kunnen de 
stelling die we zo even bewezen hebben vergelijken met een uit- 
komst van Ck.sahö d- Volgens deze volgt uit de voorwaarde 3a" dat 
de ongelijkheid (17) voor limiet t = l reeds geldt van n = 0 af. 
2". In onze uitkomst, en trouwens in die van Cesakö, ligt opge- 
sloten dat het door Niei.sk, N ingevoerde getal A voor de natnuilike 
inajorantfunksie van (p juist gelijk is aan -j- 1 ’), terwijl het voor 
de funksie zelf in ieder geval niet groter is; d. w. z. men heeft 
;i < V + 1, en r=A' f 1 . . , . . . (18) 
als X het bedoelde getal voor ^^ (;!) is. Deze uitkomst, die door Nielsen 
uit zijn teorerna wordt afgeleid, kan dus, indien onze mening om- 
trent het niet-aangetoond-zijn van dal teorerna juist is, evenmin 
als door Niei.sen bewezen aangemerkt worden. 
3". We kunnen ook gemakkelik de noodzakelikheid van de dooi 
ons uitgesproken voorwaarde aantonen. Immers heeft men een reeks 
van de gedaante (6), die voor zekere waarde van x = a-\-id kon- 
vergeert, dan moet de limiet van de termen nul zijn. Daar nu in 
dit geval, zooals bekend is. 
„= 00 x{x -f 1 ) . , . n) 71^ 
zo moet men dus hebben dat 
Acc. d. Scienze fisiche e matematiche di Napoli, 1893. Zie ook : Borel, 
Legons sur les séries a termes positifs. 
’) Tenminste bij „croissance régulière” van a» ; anders kan het ook kleiner dan 
A' + I zijn. 
