188 
llni a„ ^ ii' 
waarin X een reëel getal is hoogstens gelijk aan a, maar eventueel 
ook aan — oo. Voiaut men nu met de gegeven koeffisienlen a„ een 
funksie fp{t) als in (2), dan heeft dez,e de eigenschappen onder 1" 
en 3a°, en dan is, zoals we in ’t voorgaande bewezen hebben, de 
reeks gelijk aan de integraal (1) voor altijd, indien 
J > ^. anders moet men zeggen dat een zeker restdeel van de 
reeks voor .r j> P.' -[~ 1 gelijk is aan een integraal als (8) in de noot 
op pag. 183. 
4". Als de koeffisienten a„ in de machtreeks voor (p{t) reëel 
zijn, kan men één bepaald geval aangeven, waarin de reeks voor- 
waardelik konvergeert voor nl. dan, als alle afgeleiden van 
zeker rangnummer af de eigenschap hebben dat ze over het hele 
interval 0<^<jl hetzelfde teken houden, en tevens dat het teken 
voor twee opvolgende afgeleiden verschillend is. Dit kari uit de 
gelijkheid 
Rn~Rn+l 
V.' a,i 
1 + n) 
(19) 
worden afgeleid, waarin de betekenis (11) heeft. Stel nl. voor- 
eerst dat .r reëel is = a. Dan hebben en — blijkbaar 
hetzelfde teken, en is dus ieder in absolute waarde kleiner .dan 
de reeksterm in ’t rechterlid van (19). Heeft deze dus nul tot limiet, 
dan Rn eveneens, en dit is het geval voor u^/', daar — ?é'. 
Is x kompleks = rf --f- / /l en « j> P', dan heeft men 
o 
I uja f !)...(» j /• (/(» )(<) (l-0-+>- i 
I «~|-i^)...(«-ff,ll ?i — 1) I,; n(n-j-l).. .(« + M— 1) 
u 
<f 
rpM(t) (1 
’ -I dt 
-(- 1 ). . . (a' A n 1 ] 
De laatste integi’aal is gelijk aan R,, voor x = a, en heeft dus, 
zoals zo even is aangetoond, nul tot limiet; de faktor waarmee de 
integraal vermenigvuldigd wordt heeft klaarblijkelik een modulus 
kleiner dan 1 ; Rn nadert dus tot nul. 
Als toelichting nemen we het voorbeeld van Nielsen 
ra tv-'- 
a(;r) = j — — dt, 
o 
waarin 
