189 
7 (O = 
1 + < 
=i 0. 
De funksie (f (/) voldoet aan de z,o even genoemde spesiale voor- 
waarde, en om die reden mag men werkelik tot de onl wikkelbaar- 
heid van a(a’) in een fakniteitreeks besluiten, indien Is 
R {:c) tevens <[-^‘'+1. (^^f*-** beeft slechts voorwaardelike konvergentie 
plaats. Een ander voorbeeld van zijn stelling, dus eeji dat niet aan 
de bedoelde biezondere voor waarde voldoet, wordt door Nik.i.skn 
niet gegeven. Maai- dezulke zijn gemakkelik te bedenken. 
5". Ten slotte een opmerking over een andere manier, om nit 
de reeks (2) de ontwikkeling (6) af te leiden; een manier die 
zowel door Pincherle als door Nielsen wordt toegepast. Men kan 
n.1. schrijven 
— + a. <(1 — tp-l . . . -f f ... , 
en dus 
ƒ 
<5f)(<) (1-ty 
dt =j [a^(]—fy-i T • • . f - 0’^^+ • . . I dt. 
Integreert men de reeks term \ oor term tussen 0 en 1, dan komt 
er de reeks (6). Als deze kon vei-geert, dan leidt Nielsen (p. 239 
Handbuch) daaruit af dat hij gelijk is aan de integraal in het 
linkerlid van de \'orige vergelijking, en w^el door zich te beroe[)en 
op een stelling van Dini (Grundlagen, p. 523). Was dit juist, dau 
zou men, behalve het door ons genoemde spesiale geval, nog een 
zeer algemeen geval hebben, waarin de integraal (1) in een voor- 
waardelik konvergente fakniteitreeks kan worden ontwikkeld : n.1. 
altijd dan, wanneei- de fakniteitreeks waaidoe die integraal, hetzij 
door partiele integratie, hetzij op de zo even vermelde manier aan- 
leiding geeft, konvergeert. 
Maar o i. is de bedoelde stelling van Dini door Nielsen verkeerd 
toegepast. Het is er bij die stelling om te doen dat men eerst in 
het interval 0<t<a, waarin a<jl, integreert. Nu is gemakkelik 
in te zien dat men in zo’n interval term voor term kan integreren 
(wegens uniforme konvergentie van de reeks in (0 ,m)). M. a. w. men 
zal hebben 
y (<)(!—<)*- 1 = 
o 
U u u 
= jt(l — ty-^dt ... 4- .. ,(20) 
o o o 
