259 
een singulier punt der congruentie. Analoog omlinllen tle in « gelegen 
stralen der (3,3) een kegelsnede. De congruentie heeft dus vier sin- 
guliere, punten van de7i tiveeden graad {A,B,C,D) en vier singuliere 
vlakken van den tweeden graad 
Zij bezit ook singuliere waaiers. Wanneer de rechten a,b van een 
hyperboloïdisch viertal elkander snijden, ontmoeten ook c en d 
elkander. Op «d liggen blijkbaar twee punten ah (coïncidenties van 
twee projectieve reeksen). Ieder van hen is toegevoegd aan een van 
de beide, op yd gelegen, punten cd. De transversalen t van vier 
aldus verbonden stralen a,b,c,d vormen nu twee waaiers: een daar- 
van ligt in het vlak ab en heeft zijn centrum in cd, de andere ligt 
in het vlak cd en heeft ab tot centrum. De congruentie (3,3) heeft 
dus twaalf smguliere nniaiers '). 
8. Wanneer een waaier [t] een sti-aal der (3,3) bevat, dan ont- 
aardt het regelvlak {t')' in de singuliere regelschaar, waartoe die 
straal t behoort, en een regelvlak {t'f, dat A,B,C,D tot dubbel- 
punten en tot dubbelraakvlakken heeft. 
Bevat (t) twee stralen der (3,3), dan bestaat de meetkundige plaats 
van t' uit twee singuliere regelscharen en een regelvlak (t'Y, dat 
met a een kegelstiede en een rechte t' gemeen heeft. Zijn doorsnede 
met T bestaat uit twee stralen t' ^ : t (door T) en een derde rechte 
e, welke de enkelvoudige richtlijn van {t'Y is; de dubbele idchtlijn 
gaat door T. 
9. Met de stralen t, die op een rechte / rusten, komen ovei'een 
de stralen t' van een complex van den zevenden graad. Immers, I 
ontmoet zeven stralen van het regelvlak (/)^ dat toegevoegd is aan 
een waaier (t')', deze bevat dus zeveji stralen t' van den complex, 
waarin de speciale lineaire complex met richtlijn / wordt omgezet. 
De complex [t'Y heeft hoofdpunten in de centi'a der acht sterren, 
hoofdvlakken in de acht velden van singuliere stralen der involutie 
[t,t'). Immers / ontmoet b.v. een straal van eiken singnlieren waaier 
der ster en twee stralen van een door A gelegde regelschaar 
[bed)-, in het laatste geval is de overeenkomstige straal tA dus een 
dubbelstraal van den complex \t'Y . 
b De hier beschouwde (3,3) is een bijzonder geval van de congruentie, welke 
uit de transversalen van overeenkomstige stralen van drie projectieve waaiers is 
samengesteld. Ook deze, meer algemeene, (3,3) heeft 12 singuliere waaiers; daar- 
entegen zijn er slechts 3 singuliere punten en 3 singuliere vlakken van den 
tweeden graad. 
