268 
2.Tr, zooals te verwachten was, daar de vergelijking (3) bewezen 
kan worden door herhaalde integratie van beide leden der veigelijking 
n=oo n—tx 1 V., 7-, j/2n 
y ^ = — log^ + è2/ + ^ ^ ^ < 2^). 
n ' 2?i / 
7i = l »i-l 
Als men substitueert z = in de formules (1) en (2), vindt men 
'f,(è)=-èlog’2 + U(2), 
^/>.(è) = ilog‘2-U(2)log2 + |C(3), 
en als men in aanmerking neemt dat 
loglog2=_Uog2+’v<=i)^'.<i?|l>-, 
' 2n / 
n=l 
leidt men af uit (3) door y=log2 te nemen 
2n / 
271 ' 
! nemen 
(-l)”-i5„ 
(10g2)2''+l 
271 ! 
2n + 1 
(10g2)2n+2 
' 2n ! 
271 -f 2 
?(3) = flog=2 + 4 + 
\ Jl~l ) 
De index van deze ontwikkelingen is ongeveer ^ en de fout 
voortvloeiende uit het verwaarloozen van alle termen na den tweeden 
heeft geen invloed op de vijfde decimaal. 
Het is mogelijk oiri deze ontwikkelingen in verband te brengen 
met de vergelijking 
“ Coth = 1+'V* ~ 
2 2 ^ ^ 2r,! 
«=1 
en op deze wijze bepaalde integralen af te leiden, die S(2) en S(3) 
voorstellen. Zoo komt men vooreerst tot de bekende formule 
( 2 ) 
'log(l +1) 
dS. 
maar men verkrijgt ook de minder bekende uitkomst 
S(3) 
Verder kan men bewijzen de uitkomst van Euler 
?(3)=è ƒ 
•log’(l-ê) 
dt = \ 
.1/1 1 1 
-1- — + 'ö' + • • + 
7r V 1 2 3 
71 1 
