322 
heeft. Daar de punten waar Sn convergeert zicli verdichten in liet 
tweede middelpunt, convergeert S,, gelijkmatig binnen den tweeden 
cirkel, evenzoo binnen alle volgenden, dus ook binnen iederen cirkel 
om 2, die binnen 7^ ligt. Ieder gebied t dat met zijn rand binnen 
T ligt kan bedekt worden met een eindig aantal van zulke cirkels, 
waaruit de gelijkmatige convergentie van tot een analytische 
functie in t volgt. 
§ 5. Tot slot zullen we een eenvoudig bewijs geven van Osgood’s 
oorspronkelijke stelling. 
Uit § 1 volgt, dat als Sn in de overal binnen 7^ dichte punt- 
verzameling (|3) convergeert, ze overal binnen T convergeert en dat 
de limietfunctie ƒ continu binnen T' is, terwijl j ƒ j ^ G. Om een 
willekeurig punt binnen 7^ trekke men cirkel (Zf) binnen 7^gelegen. 
Is iz — zg b.v. weer 'S 
f(z) = - — _ lim { 
2Jr^ „=00 J 
Sn{t)dt R ^ , 
t — Z 2,71 „=00 
^Sn{t)é^dd 
J t^z 
{R) o 
Wij passen nu een voor de hand liggende uitbreiding op complexe 
functies toe van deze stelling van Osgood ') : 
convergeert een functie o n{d), die voor iedere n continu is in het 
interval a<^6 <_ h, tot een functie (p[6), die. in dat interval continu 
is, en is \<f'nfG\ ■\ ^ geheele interv(d. en voor iedere n, G een 
constante zijnde, dan is 
h b 
Urn J (pn{0)dd =^(f{8)d8. 
Sn{t)d>'^ 
Stellen we <pn{d) — , dan is continu- in ü < (9 < 2rr en 
t — z 
2G 
VPn\<f—, ook is a{8) = continu in O < <9 < 2jr. Dus 
"7 ’(0 dt 
t—z 
(R) 
Daar ƒ continu is op {R) volgt hieruit dat ƒ analytisch is binnen 
GR)- ' 
Dezelfde hulpstelling kan dienen om eenvoudig de gelijkmatige 
convergentie van Sn tot f binnen GR) te bewijzen. 
1) W. F. Osgood. On the non uniform convergence. Am Journal of Math 
1897. Voor een uitbreiding zie H. Lebesgue, Lecons sur Vlnt'egration, p. 114. 
