329 
Het voortbrengend getal van k is') 
1] = Z' + Z' + 
De substituties van ’t deellichaam k zijn 
s, . . . , 
We zullen nu eerst nagaan hoe de priemgetallen in ’t lichaam k 
in priemidealen kunnen ontbonden worden. 
Theorema 3. 
Een van / verschillerid priemgetal g kan in k ontbonden worden 
e a ^ V 
in een product van priemidealen van den graad — . Hierbij is 
V e 
V het kleinste gemeene veelvoud van e en aV'~'^, terwijl / de expo- 
nent is van p {mod l^) en ef= — 1). * 
Bewijs : 
De substituties, die de ontbindiiigsgroep van een priemideaal 'P van 
p in K gemeen heeft met de ondergroep (4), zijn volgens 2^1: 
S'’, 5^'^', . . . . s®/ . (5) 
Om de geheele ondergroep (4) te krijgen moet men deze substituties 
vermenigvuldigen met ‘ 
Deze substituties behooren dus niet tot de ontbindiiigsgroep. 
De getallen die en k gemeen hebben, vormen blijkbaar een 
ideaal v. Stel dat v' in k geen priemideaal was, dus dat p = '1- 
dan zou dus p deelbaar zijn door p en in K zou = 10 . i’0. 
Omdat p0 door )) deelbaar is, zou dus bijv. q@ ook door )3 deelbaar 
zijn, dus in k zou q deelbaar zijn door p. Hieruit zou volgen p = q 
dus r = 0 en dit is tegen de onderstelling, dus p is in X; een priem- 
ideaal. 
p© is behalve door P ook deelbaar door de priemidealen 
p jyp _ . _ _ (6) 
en omdat geen der toegepaste substituties tot de ontbindingsgroep 
behoort, zijn deze idealen alle verschillend, zoodat p deelbaar is door 
hun product. We toonen nu aan dat p door geen ander priemideaal 
'P' van K deelbaar is. Stel dal dit wel zoo was. Zij A een getal 
van K dat deelbaar is door het product 77 der idealen (6) maar 
niet door p' 
^ = 77 O. 
dan zou 
') Weber, pag. 85. 
