340 
beschouwing der iiivolutie [F, P') en onderzoeken eei'st, wal ervan 
deze verwantschap wordt, iiidien de punten P en P' zich op een 
ontaarde bevinden. 
Hiertoe merken wij 0 |), dat \'ier harmonische punten P, A^, P' , yl, 
van een kromme p’' nit elke van liaar koorden ,y door vier harmo- 
nische vlakken geprojecteerd worden. Dit moet blijven gelden, indien 
men de p’ laat ontaarden in een kegelsnede en een rechte d. 
Bij de in § 2 beschouwde ontaarding liggen de punten en 
beide o[» de kegelsnede k'. De volgende twee gevallen zijn nn 
mogelijk ; 
1. Het punt P ligt ook op de kegelsnede Nemen wij als koorde 
s een gemeenschappelijke snijlijn van de kegelsnede k^ en de rechte 
d, dan zien wij, dat het punt P' eveneens op 4’ ligt en van P 
door en harmonisch gescheiden wordt. 
2. Het punt P ligt 0 [) de rechte d: Nemen wij de koorde .v op 
dezelfde wijze, dan zien wij, dat het punt P' op P ligt en door 
en harmoidsch gescheiden wordt van het snijpunt der beide 
bestanddeelen P en d. 
Aan het punt D' , dat van D harmonisch gescheiden wordt, zijn 
dus alle punten der rechte d toegexoegd ; overigens behoort bij elk 
punt P der ontaarde p” een bepaald ander punt P' . 
Bij de in § 3 beschouwde ontaarding ligt het punt op de rechte 
d, het |)nnt A.^ 0 |) de kegelsnede P (of omgekeerd). Er zijn weer 
twee gevallen mogelijk: 
1. Het punt P ligt op de kegelsnede P. Nemen wij als koorde s 
weer een snijlijn \'an P en d, dan zien wij, dat het punt P' even- 
eens op de kegelsnede P ligt en van Z'* harmonisch gescheiden wordt 
door de punten H, en D. 
2. Het punt P ligt op de rechte d. Nemen wij als koorde s een 
rechte in het vlak van de kegelsnede P, dan zien wij, dat het punt 
P eveneens op de rechte d ligt en van P harmonisch gescheiden 
wordt door de punten en D. 
Bij elk [uint van een dezer ontaarde P behoort dus een bepaald 
ander punt. Valt P met het punt 74 samen dan doet dit eveneens. 
Wanneer de p* in drie rechte lijnen ontaard is, gelden soortgelijke 
beschouwingen. 
§ b. Singuliere punten der involutie {P,P'). De punten A^ en 
zijn 0 |) elk niet-ontaarde p" aan zichzelf toegevoegd ; blijkens 
de vorige § geldt dit ook voor de ontaarde p®. Deze [)unten zijn 
dus geen singuliere punten der involutie. 
De punten der rechten a,, en a„ zijn daarentegen wel singuliere 
