383 
Zulk een reeks kaïi ineu dus iii het „eiioucée” vau hoveiistaaiide 
stelling eveneens gebruiken. We merken ook op dat X' gerust kleinei' 
dan — 1 mag zijn: (ie stelling van Niklsen blijft gelden, al zonden we 
in dat geval onze redeneringen bij een integraal van de vorm (8) 
(in de noot op p. 384) moeten aansluiten. 
Door de substitutie t=t'e’T' in de machtreeks voor (/'{t) krijgt 
men de algemenere stelling: Zijn de koef[fisienten ün van een macht- 
reeks in t voor n = <X) equivalent met id' , dan heeft de funksie <({t), 
door die reeks voorgesteld, op de omtrek van de konvergentiesirkel 
overal daar singuliere punten, waar de reeks 
divergeert. Men kan hier zelfs aan toevoegen dat dit reeds geldt, 
als niet juist alle koeftisienten voor n = co ecpiivalent zijn met 
ld', maar als dit van hun bovenste giens geldt; we bedoelen, als 
men heeft 
Eindelik merken we op dat het omgekeerde van de stelling niet 
waar is : Als de reeks (25) konvergeert, kan ^=1 heel goed een 
singulier punt zijn: daartoe hoeven we maar te denken aan het 
geval dat Hn slechts van nul verschilt voor waarden van n die met 
een bedrag van voldoende grootte uiteenliggen, in welk geval de 
reeks (25) absoluut konvergeert, maar (f{t) de sirkel (0,1) als singu- 
liere lijn heeft. 
8. Zoals we reeds opgemerkt hebben, wij twijfelen er aan, of 
de stelling van Nikt.sen wel algemene geldigheid heeft, ofschoon wij 
het tegendeel niet kunnen bewijzen. Er zullen, als A <( /' -]- 1 , naar 
wij vermoeden gevallen zijn waarin de integraal (1) niet voor alle 
waarden van ll{x)'f>X in een fakulteitreeks kan worden ontwikkeld. 
Wel menen wij met zekerheid te kunnen aantonen dat ontwikkel- 
baarheid uitgesloten is voor R (.r) <j A, iets wat nog niet onmiddellik 
duidelik is, indien X tussen X' en X' -j- i inligt ')• 
Stel dat de reeks (25) konvergeert voor df> 6^ en diveigeert voor 
(9 <j 6*, en dat dus (26) konvergeert voor R [x) )> /' -j- d, eii diver- 
geert voor R {x) <f x' dan zal de integraal (1) in ieder geval 
voor geen enkele waarde van R {x) <C X' -f in een fakulteitreeks 
') Is R {z) < A', dan is de mogelikheid in eens duidelik, omdat dan de reeks- 
termen niet nul tot limiet hebben. 
25 
Verslagen der Afdeeling Natuur. Dl. XXVIl. A'’. 1918/19. 
