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f;« I ^ 
ab 
dl 
C?{1 +f «i) 
dgab, 
dxi 
<hib,'A 
dl 
+ è (1 + f/^«) 9 ah,: 
i dg ah, ai 
. ( 1 ) 
OÜ 
l = kC(—gflt 
C h 2 ^ (p^ q'"^ {ijl hn) ; 
.• m ‘ ‘ 
C est l’invariant de courbnre totale de Riemann relalif a la foniie 
quadralique différeidielle : 
2 gijc dvi óxk- . (2 ) 
Oii a aussi posé : 
9 a h,/j. 
*^9ab 
~dxj. 
9ab,/J.i 
d^9ab 
dxfjdxi 
D’aiitre part, on a: f;; = 1, ^>„ = 0 (A^|-ft); H indiqiie une som- 
ab 
mation étendne anx 10 eoinbinaisons avec répétition des nombres 
1, 2, 3, 4 pris 2 a 2. 
En dérivant / par rapport anx 9f,,b,/j. et en [)erniiitant les indices, 
on obtient Ie résultat suivant; 
d9< 
[ 9'^'^ (9'^'^ 9^^' — 9^^ 9^'^') j 
— = ki-gYk Tl - "ib') V n ) + 9!^- {gy^9,k - ^^^9’“^) ! . 
ab.f. V Z J h I u I 
I guc, {gabglh 9^"g’'^) ] 
En dérivant de tnêine / par rapport anx gab,'M et en rédnisant les 
termes seniblables, on obtient : 
-^^k{—gyi. {29i-9«b^g'^y-9t’i -gb.'Y'i). 
Substitnons ces expressions dans (1), et ntilisons la Ibrmnle: 
d( — <7)'^* 
dXi a ,9 a ,3 
Après qnelqnes rédnctions obtennes en permutant les indices, on 
a enfin : 
hfj. = — [^9'^^’^‘9'"’’-g"^’’bqb/Y-9hi,u9"''9^^''9^’‘]9ab,x- 
4 a b i h a 
k 
— v {9‘ '9''^~9'‘^9^']9ab,u 
^ a b i 
( 3 ) 
28 * 
