Wiskunde. — De Heer Jan de Vries biedt eeti mededeeling aan 
van Dr. K. W. Rötgers getiteld: ,,Oiitnardbrgen in lineaire 
stelsels van vlakke kubische kronmien." 
(Mede aangeboden door den Heer Cardinaal). 
1. Het aantal krommen met twee dubbelpunten, voorkomende in 
een net van vlakke krommen, wordt gegeven door de formule: 
I [(i> + ö f 4p-l)“ ^ 3i>— D— 78p + 3], ') 
waarin D het aantal vrije snijpunten van twee elementen van het 
net, <7 het aantal basispunten, p het geslacdit der krommen voorstelt. 
Voor een net van vlakke kubische krommen is dit dus het aantal 
ontaardingen in een kegelsnede en een rechte; in een net zonder 
basispunten geeft de formule een aantal van 21 ; elk enkelvoudig 
basispunt vermindert het door de formule gegeven getal met één. 
Zijn er enkelvoudige basispunten, dan kan de vraag gesteld worden, 
bij hoeveel ontaardingen de rechte door twee, door één of door geen 
der basispunten gaat. Nemen we een der basispunten tot hoekpunt 
= 0, .c, = 0) van een coordinaten-driehoek en stellen we de 
voorwaarde, dat de rechte = mx^ deel moet zijn van een kubische 
kromme van het net, dan blijkt gemakkelijk, dat 6 waarden voor 
ni worden gevonden, dat dus in ’t algemeen door een enkelvoudig 
basispunt 6 rechten, deelen van ontaardingen, gaan. Hieruit volgt 
dan de oplossing der gestelde opgave. 
Een andere oplossing wordt aldus verkregen. Het net wordt 
bepaald door een kromme Cj en een bundel, waartoe Cg niet behoort. 
Is D het aantal vrije snijpunten van twee ki-ommen van het net, 
dan moet Cg door 9 — D basispunten Ai van den bundel gaan. De 
laatste snijdt op c, een involutie y van de orde D in. Nu blijkt 
het volgende : 
a. Het aantal ontaardingen in een rechte AiAk en bijbehoorende 
kegelsnede bedraagt \ (9 — D) (8 — D). 
b. Een rechte door een der basispunten kan met een kegelsnede 
door de 8 — D overige een ontaarding vormen. Het stelsel kegel- 
‘) Gaporali, „Sopra i sistemi lineari triplamente infiniti di curve algebriche 
piane”, Collectanea mathematica in memoriam Chelini, p- 182. lu de plaats van 
D staat daar de letter N. 
