798 
(ie dubbel kromme Elke kromme van '/>j, gelegen in een vlak 
\an den bundel snijdt cp'- nog iïi 2 punten op een zelfde 
rechte door P' . Blijkens de afbeelding moet het éénmaal gebeuren, 
dat deze beide snijpunten in F' samenvallen, m. a. vv. F' is een 
buigpunt voor Cg'". Om dezelfde reden is F' eveneens bnigpnnt 
voor de vlakke kubische kromme die afgebeeld wordt door de 
rechte n. We vinden dns: 
De punten, die uit Sp een net bepalen, waarbij de verbindings- 
rechten van die punten niet de basispunten van het stelsel deelen van 
ontaardingen zijn, die tot eenzelfden bundel behooren, zijn de afbeel- 
dingen van die punten van waarin twee krommen, behoorende 
tot een der vijf stelsels van vlakke kubische krommen op dit oppervlak, 
beide een buigpunt bezitten ; of ook ; 
Deze punten zijn de afbeeldingen van die punten van d\, waarbij 
door elk der hoofdraaklijnen een vlak gaat, dat een kubische kromme 
van een der, stelsels van deze krommen bevat. 
Nemen we in aanmerking, dat de doorsnede van 0^ met het 
raakvlak in P' wordt afgebeeld als de kubische kromme, die in P 
een dubbelpunt heeft, dan hebben we hier een nieuw bewijs voor 
(ie algebraïsch bewezen hulpstelling. 
Het snijpunt van m met de gemeenschappelijke harmonisclie pool- 
lijn / is de afbeelding van het raakpunt Q met de raaklijn uit P' 
aan Cj"' getrokken. Het dubbelpunt D van cp wordt afgebeeld als 
een puntenpaar op de rechte m, nl. als de twee toegevoegde punten 
op m van de kromme, die beantwoordt aan de dubbelkromnie Q^ 
van Dit puntenpaar wordt door een kromme van den bundel 
op m ingesneden en ligt dus harmonisch met P en (/, m). 
Behalve P' bezit cp nog 2 bnigpunten, met P' op een zelfde 
rechte gelegen; ze worden dns op cp ingesneden door een kromme 
van den bundel {P',B'i). Hieruit blijkt dat de overeenkomstige punten 
in de afbeelding eveneens harmonisch zijn gelegen t.o.v. P en (/, m). 
De krommen van het net, die in deze beide punten dubbelpunten 
bezitten, moeten rn tot één der dubbelpuntsraaklijnen hebben ^). 
Hetzelfde geldt voor de rechte n. 
6. We gaan thans weer terug naar den complex aS,® van kubische 
krommen met 5 basispunten . . . ,A^ en veronderstellen dat het 
') Op de rechten m en n zijn dus 3 punten gevonden, waarbij elk dezer rechten 
een der dubbelpuntsraaklijnen is van de kromme van 8^, die daar een dubbelpunt 
heeft. In ’t algemeen zijn er op een willekeurige rechte vijf van deze punten te 
vinden. Genoemde drie punten worden hier aangevuld door de beide snijpunten 
van m of n met hun bijbehoorende kegelsneden (Gaporau, 1. c ) 
