799 
punt F zoodanig op -4, is geconstrueerd, dat de recliten P^l,, 
deelen van ontaardingen zijn, die tot eejizolfden bundel heliooren. 
Van de beide andei'e rechten, deelen van ontaardingen door F, 
valt steeds een samen met de andere gaat door een vast 
punt O. De ki'omme, die in P een dubbelpunt heeft, valt uiteen 
in 4j 4j en een kegelsnede door A^, A^, ^4^, F en een vast |nint Q '). 
Volgens bovenstaande hul|)stelling zal de laatstgetioemde rechte 
door F aan deze kegelsnede moeten raken. 
Denken we in elk snijpunt van ^4, met een kegelsnede van 
den bundel {A^,A^,A^,Q) de raaklijnen aan die kegelsnede getrokken, 
dan omhullen deze rechten een kromme van de 3'''^ klasse ^), aan 
welke omhullende uit O drie raaklijnen zijn te trekken; m. a. w. 
op A^ liggen drie punten F, zoodanig, dat de raaklijn in F aan 
de kegelsnede {F, A^, A^, 4., Q) door O gaat, waarmee weer het 
reeds in ^ 4 gevonden resultaat is bereikt. 
7. We zullen nu de m.p. der punten /S zoeken, waarvoor een der 
dubbelpuntsraaklijnen aan de kromme van S^, die in S een dubbel- 
punt bezit, door het vaste punt O gaat. 
Een pujit F van een rechte / is dubbelpunt van een kromme vaji 
aS, ; deze snijdt / nog in een punt F'. Omgekeerd bepaalt F' uit *5’, 
een net van kubische krommen met zes basispunten {A^, . . . , A^, F'). 
De m.p. der dubbelpunten van de kiommen van dit net is van den 
6cieu gi-aad met dubbelpunten in A^,...,A^ en F', snijdt dus /buiten 
F' nog in 4 punten. Tusschen F en F' bestaat dus een verwantschap 
(1,4) met 5 coincidenties, d. w. z. op elke rechte I liggen 5 punten 
P, zoodanig dat een der dubhelpuntsraaklijneu van de kromme, die in 
P een diibbelpnnt bezit, langs I valt. 
Hieruit is af te leiden, dat de omhullende der dubbelpuntsraaklijnen 
van de krommen in S^, die in de punten van de rechte / dubbel- 
punten hebben, van de 7“^® klasse is. 
Zoo zijn dus ook uit het punt O 7 raaklijnen aan deze bij / be- 
hoorende kromme te trekken, zoodat blijkt, dat op / zeven punten 
liggen, waai-bij een der dubbelpnntsi-aaklijnen een i’echte is, die als 
deel van een ontaarding kan worden opgevat. 
Nochtans is het duidelijk, dat tot deze 7 punten ook gerekend 
moeten worden de beide snijpunten van / met de kegelsnede 
{A^, . . A^), zoodat het resultaat is-. 
De punten, die dubbelpunten van krommen van zijn, waarbij 
b Sturm, 1. c. S. 306. 
b Sporer, „Ueber eine besondere mit dein Kegelschniltbüschel in Verbindung 
stekende Curve", Zeitschrift für Malhematik und Physik, 38 Jahrgaiig, 1893,8.34. 
