39 
ruimtekromme 9’ voort, die het beeld is van de rechte r. Daar r 
van elke der regelscharen {tjdf twee stralen snijdt, heeft (>’' de 
rechten tot koorden ; zij rust in twee punten op 0*, omdat r ook 
twee stralen t ontmoet. 
Beschouwen wij nu de hilineaire stralencongvuentie [r], die twee 
der rechten t tot richtlijnen heeft. Door de kubische transformatie 
wordt zij omgezet in de congruentie [(/], waarvan de krommen p’ 
door twee vaste punten *Si en gaan en de drie vaste rechten a,, 
a,, a, tot bisecanten hebben ^). 
Omgekeerd, kan elke congruente [^’J met twee basispunten aS\, 
en drie vaste bisecanten ak op een bilineaire congruentie [r] worden 
afgebeeld. Daartoe neme men twee transversalen der rechten 
ük en bepale de vlakkeninvolutie om ak door aan de beide vlakken 
(ntfttj) en {a.kt^) toe te voegen de vlakken {auS^) eti {gkS^). 
§ 2 . De kromme q* zal ontaarden, zoodra de straal r op een der 
singuliere lijnen 0* of ak i'nst. 
Wanneer r door het punt S van o* gaat, is haar beeld samen- 
gesteld uit de aan S toegewezen rechte t en een kegelsnede p’ door 
en S,, die a^, a, en a, snijdt. De meetkundige plaats der kegel- 
sneden p’’ is de dimonoïde van den vierden graad, A\ welke drie- 
voudige punten in S■^ en * 5 , heeft, de rechten ak bevat en in S, 
een dubbele torsale rechte bezit. 
Het beeld van A"* is het regelvlak (r)® met richtlijnen p°, en i^, 
waarop en drievoudig zijn en dat de rechten ak tot dubbele 
beschrijvenden heeft. Men kan dit controleeren door {rY te combi- 
neeren met een kromme p®, die het beeld is van een rechte vi. 
Zal de straal r op a^ rusten, dan moet hij behooren tot een der 
waaiers, die de punten B\ = a, of B'\ = a^ tot top hebben en 
tot de bilineaire stralencongruentie ( 1 , 1 ) behooren. De eerste waaier 
ligt in het vlak B\ t , ; dit heeft tot beeld de regelschaar (^,3)’ ver- 
bonden met het vlak S^a^. Voor [p®] vindt men hieiaiit een bundel 
kegelsneden, welke en de doorgangeji van a, en a^ met het vlak 
aS, a^ tot basispunten heeft. Het vierde basispunt wordt ingesneden 
door de rechte è',,, die, als transvei'saal uit over a, en a,, het 
beeld is van het punt B^. Wij hebben hier dus een groep van 
ontaarde figuren, ieder samengesteld uit de rechte 6', 3 en een kegel- 
snede van den genoemden bundel. 
b Deze congruentie is het eerst onderzocht door M. Stuyvaert (Dissertation 
inaugurale, Gand 1902). Een andere behandeling van de , Congruentie van Stuy- 
vaert" vindt men in het proefschrift van J. de Vries, Utrecht 1917, waar ook 
de litteratuur over bilineaire congruenties van kubische ruimtekrommen is vermeld. 
