Wiskunde. — H. J. van Veen: „Roiatieassen van kwadratische 
oppervlakken door 4 gegeven punten.” 
(Aangeboden door de Heeren Jan de Vries en W. Kapteyn). 
^ 1. Zijn drie punten in de ruimte aangenomen, dan kan elke 
rechte / beschouwd worden als rotatieas van een kwadratisch 
omwentelingsoppervlak door die punten. De cirkels toch, die de 
3 punten bij wenteling om I beschrijven, snijden een vlak door I 
in zes punten. Deze liggen blijkbaar op een kegelsnede k', welke I 
tot as van symmetrie heeft. Wenteling van k'^ om I geeft een 
kwadratisch omwentelingsoppervlak (in het volgende door O' aan- 
geduid), dat I tot rotatieas (kortweg as) heeft en door de 3 gegeven 
punten gaat. 
Als regel is een O' bepaald door zijn as en drie punten; door- 
loopen echter twee (of drie) der gegeven punten bij wenteling om I 
eenzelfden cirkel, dan bestaat er een hundel (net) van (9”s, welke 
I tot as hebben en door de 3 punten gaan. 
Een (9’ is wèi steeds bepaald door 3 cirkels met éénzelfde as, 
mits deze cirkels niet alle in één vlak liggen. 
^ 2. De assen der O’s door 4 gegeven punten Ai (^i = 1 . . . 4i) 
vormen een stralencomplex F, dat in het volgende onderzocht zal 
worden. Onder O’ zal dan worden verstaan ee7i kwadratisch opper- 
vlak, dat tweemaal aan den holcwkel y’ raakt-, de verbindingslijn p 
van de raakpunten zal contactkoorde genoemd worden ; de toege- 
voegde poolrechte van p — gedefinieerd als M.P. der punten, welker 
poolvlakken door p gaan — is de as van ()’. Als regel is deze 
M.P. een rechte p' die door de pool P van p t. o. z. van y’ gaat; 
bij onbepaaldheid van p' zal alleen als as beschouwd worden de 
rechte (of de rechten), toegevoegd aan p en gaande door P. 
Als bijzondere kwadratische oppervlakken, die volgens het boven- 
staande als 0’ aangemerkt moeten worden, noem ik : een paraboli- 
schen cylinder, met een waaier van assen in het oneindig verre vlak 
Vqc en een paar van evenioijdige a/aH-m met een schoof van // assen. 
^ 3. Neem een willekeurig vlak n aan en daarin een punt P. 
Is Q het oneindig verre punt van een rechte van den waaier (P,Jt), 
