Wiskunde. — L. J. Smid Jr. : ,, Aantallen cirkels, die vlakke krom- 
men raken, bepaald door afbeelding op de punlraimte.” 
(Aangeboden door de Heeren Hendrik de Vries en Jan de Vries). 
De cirkels van een plat vlak (ontaard in gen inbegrepen) zijn één- 
ééndnidig nitzonderingsloos af te beelden op de [ninten eener inojec- 
tieve ruimte (R. Mehmke, Zeitsclirift für Matlieinalik nnd Physik 24 
(1879)). Hiertoe kan men o.a. aldns komen: 
Zij W een nmbilicaalpiint van een kvvadriek 0^ en iv bet raak- 
vlak in dat punt, B een vlak evenwijdig aan Een vlakke doorsnee 
van 0^ met zijn pool ten opz. van 0^ worden uit W geprojecteerd 
tot een cirkel in B met zijn middelpunt en omgekeerd. We beschou- 
wen die pool als het beeld van den cirkel. 
In ’t bijzonder kan men voor 0'‘ een omwentelingsk wadriek nemen, 
waarvan W een top is. Is 0^ bovendien een bol dan veikrijgt men 
de afbeelding van Prof. Jan de Vries (Verhandelingen 29), laat men 
echter W naar het oo gaan, dan wordt het de afbeelding van 
Dr. K. W. Walstra (Verhandelingen 25). 
Prof. Hk. de Vries heeft cyclografisch bestudeerd de cirkels, die 
raken aan een in B gelegen kromme C van den graad ft, klasse r, 
die e maal door beide cirkelpnnten gaat (met e verschillende, in het 
eindige gelegen raaklijnen die er C in e 1 punten snijden), de 
9ao ^ verschillende punten gewoon raakt en verder geen 
andere singulariteiten heeft dan ö dubbelpunten, k keerpunten, x 
dnbbelraaklijnen en i bnigraaklijnen. (Verhandelingen 8). 
Men komt tot dezelfde resultaten door bovengenoemde afbeelding. 
Wij vermelden slechts de voornaamste. 
De kromme C wordt uit W op O’ geprojecteerd tot een kromme, 
welke bestaat uit de beide beschrijvenden door W, f-maal geteld 
en een kromme k van den graad n = 2[x — 26 welke (ft — 26)-maal 
door W gaat. ö paren raaklijnen in W vallen samen, doordat de 
parabolische takken van (7 aanleiding geven tot keerpunten van k 
in W. Verder heeft k nog d dubbelpunten, ^ keerpunten en (p — 6) 
(p — 6 — 1) schijnbare dubbelpunten en geen stationnaire raaklijnen. 
Door de formules van Plücker vinden we verdere voor k ken- 
merkende getallen. 
Uit den aard der afbeelding volgt, dat de punten van het raak- 
lijnenoppervlak L van k, de cirkels voorstellen, die C loodrecht 
snijden. De raakvlakken aan 0^ in de punten van k omhullen een 
ontwikkelbaar oppervlak K, welks punten de raakcircels van C 
