Wiskunde.  — Jan  de  Vries:  „Een  congruentie  (1,0)  van  kubische 
ruimtekrommen”. 
1.  De  knbische  ruimtekrotnmen  door  vier  punten  Cj,  C^,  C^,  C\. 
die  de  reclite  b tweemaal  snijden,  vormen  een  lineaire  congruentie 
; door  een  willekeuilg  gekozen  punt  gaat  immers  één  (**.  De 
basispunten  C zijn  hoofdpunten,  b is  een  hoofdkoorde. 
Zij  d een  koorde  van  een  der  f>‘,  dan  is  d {C^  C.^  C\  C\)  = 
b{C.,  C3  C^).  De  koorden  d vormen  dus  een  tetraedralen  comple.r  ■, 
een  niet  tot  dien  complex  belioorende  straal  / wordt  dus  door  geen 
p’  tweemaal  gesneden;  de  klasse  der  congruentie  is  7iid. 
Een  koorde  d bepaalt  met  Ck  en  b een  liyperboloide ; hierop 
liggen  00^  krommen  (;)^  die  b en  d tweemaal  snijden.  Elke  com- 
plexstraal  d is  dus  koorde  van  co'  krommen  p',  en  deze  bepalen 
op  d een  involutie  ; d is  bijgevolg  raaklijn  aan  tmee  krommen. 
De  raaklijnen,  die  in  een  punt  P samenkomen,  liggen  op  den 
complexkegel  van  P-,  hun  raakpunten  vormen  een  ruimtekromme 
van  den  5®“  graad,  p^  welke  door  P gaat. 
2.  Zij  het  snijpunt  van  b met  het  vlak  = 6'i  C',  (7,.  Elke 
kegelsnede  door  de  punten  6\,  C.^,  C,,  is  bestanddeel  van  een 
samengestelde  p* ; de  transversaal  door  over  b en  p^  is  het 
tweede  bestanddeel.  De  i'echten  t^  vormen  den  stralenbundel  om  C„ 
in  het  vlak  Cfi.  Er  zijn  dus  vier  stralenbundels  gevormd  door 
singuliere  rechten. 
De  lijnenparen  van  den  bundel  (p^)  leveren  drie  tiguren,  die  ieder 
uit  drie  rechten  bestaan;  b.  v.  het  samenstel  van  6\  6',,  C^B^  en  de 
rechte  t^,  die  op  Cj  6\  rust.  Er  zijn  blijkbaar  figuren,  die  u it 
drie  rechten  bestaan. 
3.  Om  den  graad  te  vinden  van  het  0|)pervlak  A gevormd  door 
de  p’,  welke  een  rechte  I snijden,  zoeken  wij  de  doorsnede  van 
A met  het  vlak  7,^,.  Zij  bestaat  uit  twee  kegelsneden  van  den  bundel 
(p’‘);  de  eerste  snijdt  /,  de  tweede  is  bestanddeel  van  de  p°,  welke  be- 
paald wordt  door  de  transversaal  uit  over  b en  /.  Dus  is  A eeii 
oppervlak  van  den  graad;  blijkbaar  zijn  de  hoofdpunten  C dub- 
belpunten van  A\  Een  p®,  die  niet  op  ligt,  kan  dit  oppervlak 
slechts  in  de  punten  C en  op  de  hoofdkoorde  b snijden ; hieruit 
volgt,  dat  b dubbelrechte  is. 
