Wiskunde. 
J.  WoLFF:  „Over  de  continniteitspunten  van  functies’’. 
(Aangeboden  door  de  Heeren  Hendrik  de  Vries  en  Jan  de  Vries). 
Zij  f{P)  eeii  functie  van  de  coördinaten  van  een  [)unt  F eener 
ruimte  met  willekeurig- aantal  afmetingen.  De  punten  waar  ƒ continu 
is,  vormen,  zooals  bekend  is,  een  inwendige  grensverzanieling , dat  is 
de  doorsnee  van  aftelbaar  veel  Ofien  pnntverzamelingen  waarbij 
we  mogen  aannemen  dat  deel  van  is  voor  iedere  w.  Want 
de  punten,  waarbij  de  functie  minder  dan  — schommelt,  vormen  een 
n 
open  verzameling  omdat  de  schommeling  half  continu  naar  boven 
is.  De  verzameling  der  eontinniteitspnnten  is  de  dooï'snee  van  alle 
22, i,  3, Yoüng')  heeft  laten  zien,  dat  bij  iedei-e  in wendige 
grensverzameling  Zi,  die  men  op  een  lineair  interval  geeft,  een  functie 
in  dat  interval  behoort,  die  continu  is  in  ieder  punt  van  E en  dis- 
continu in  ieder  ander  punt.  Wij  laten  hier  een  eenvoudig  bewijs 
volgen,  dat  onmiddellijk  geldig  is  voor  ruimten  met  willekeurig 
aantal  afmetingen. 
1.  Gegeven  moge  dus  zijn  een  puntverzameling  E als  doorsnee 
van  aftelbaar  veel  open  verzamelingen  22,,,  waarbij  22,,^ i deel  (niet 
noodzakelijk  echt  deel)  van  22„  is. 
Wij  detinieeren  f{P)  voor  ieder  punt  der  ruimte  als  volgt:  ten 
eerste  f{P)  = 0.  als  P in  E ligt.  Zij  nu  P een  punt  dat  niet  in 
E ligt,  Hp  de  kleinste  waarde  van  n,  waarvoor  22„  het  punt  /'*niet 
bevat. 
Wij  stellen 
f{P)  = 
xp{P) 
(i) 
waarin  de  functie  is,  die  in  ieder  punt  der  ruimte,  waarvan 
alle  coördinaten  rationaal  zijn,  gelijk  is  aan  1,  in  ieder  ander  punt 
der  ruimte  gelijk  is  aan  — 1. 
We  kunnen  zeggen  dat  (1)  ook  doorgaat  voor  de  punten  van  Jf 
als  we  daar  n^^co  denken. 
2.  Wij  zullen  nu  aantoonen  dat  /{P)  continu  is  in  de  punten  van 
E eii  discontinu  daarbuiten. 
Ondei-stellen  we  eerst  dal  P tol  E behoort.  Dan  is  f{P)=:0. 
) W.  H.  Young.  Wiener  Sitzungsber.,  vol  112,  Abt.  Ila,  p-  1307. 
