149 
[s  f een  willekeurig  positief  getal,  dan  kunnen  we  liet  natuurlijke 
getal  1’  zoodanig  kiezen,  dat 
-<  t (2). 
V 
Daar  P in  Si.,  ligt  en  S2,  open  is,  bestaat  er  een  omgeving  van 
P,  die  ook  in  Si.,  ligt.  Voor  ieder  [innl  Q \'an  U is  derhalve 
zoodat  wegens  (1)  en  (2) 
\.f\Q)  I 
Dns  ƒ is  continu  in  ieder  pnnt  van  E. 
Nemen  we  nn  F in  het  complement  van  E.  Als  P niet  op  de 
grens  van  Sinp  ligt,  heeft  P een  omgeving  U,  die  geen  pnnt  met 
gemeen  heeft  en  in  ilnp-\  ligt.  Voor  ieder  pnnt  Q van  U is 
dan  Uq  = Hp.  Dns 
|/(Öj|  = \fiP)\ 
Daar  de  ponten  waar  ƒ positief  is,  zoowel  als  die  waar  ƒ negatief 
is,  o\  eral  dicht  op  U liggen,  is  de  schommeling  van /in  P gelijk  aan 
Als  echter  P op  de  grens  van  Si„p  hs't,  bevat  iedere  omgeving 
U van  P een  deel  van  Si,i^.  Voor  ieder  pnnt  Q van  dat  deel  is 
> Hp,  dus 
|/(0)-  /(P)  !>-^' ^ . . . (3) 
I \=  np  + 1 
Daar  nn  de  punten  Q,  waarvoor  de  ongelijkheid  (3)  geldt,  zich 
in  P verdichten,  is  P een  discontinniteitspnnt  van  /.  Hiermee  is  de 
stelling  geheel  bewezen. 
