Wiskunde.  — J.  Woi.ff:  „Imvendige  grensverzamelingen” . 
(Aangeboden  door  de  Heeren  Hendrik  de  Vries  en  Jan  de  Vries). 
Door  Hobson  is  voor  liet  eerst  de  volgende  stelling  bewezen: 
Een  aftelbare  puntverzameling,  die  geen  deel  heeft,  dat  dicht  in 
zichzelf  is,  is  een  inwendige  grensverzaweling^),  in.  a.  w.  het  genieen- 
schappelijke  van  aftelbaar  veel  open  puntverzarnelingen,  waarbij  we 
mogen  aannemen,  dat  iedere  de  volgende  bevat. 
Brouwer  heeft  een  uiterst  kort  bewijs  geleverd,  maakt  echter, 
evenals  Hobson,  gebruik  van  de  transüniete  ordinaalgelallen  ^). 
Bij  het  hier  volgende  bewijs  wordt  daar  geen  gebruik  van  gemaakt. 
1.  Als  E^,  E^,  . . . inwendige  grensververzamelingen  zijn,  als  verder 
iedere  Ejc  deel  is  van  een  open  verzameling  S2k,  terwijl  de  twee 
aan  twee  geen  punten  gemeen  hebben,  dan  is  ook  de  vereeniging 
E^  E,  . een  inwendige  grensverzameling. 
We  mogen  namelijk  schrijven  : 
Ek  = iiki  "/cj  • • • • - h = 1,2,  . . . . 
waarmee  we  bedoelen  dat  Ek  de  verzameling  is  van  de  punten,  die 
in  ^ki  liggen,  voor  iedere  i.  De  52^  zijn  open  puntverzamelingen, 
waarvan  we  mogen  onderstellen  dat  ze  allen  in  i.2k  liggen. 
De  puntverzameling 
bevat  E^  E^  maar  geen  punt  daarbuiten,  daar  52^  iZij  = 0, 
voor  hf^l.  Hiermee  is  de  hulpstelling  bewezen. 
2.  We  zeggen  dat  een  puntverzameling  E inwendige  grensver- 
zameling in  een  punt  F is,  als  er  een  dat  punt  bevattende  open 
puntverzameling  bestaat,  zoodat  het  daarin  gelegen  deel  van  E een 
inwendige  grensverzameling  is.  Dat  geldt  dan  ook  voor  het  deel 
van  E gelegen  in  een  willekeurige  open  puntverzameling,  die  deel 
is  van  de  genoemde. 
3.  Als  een  aftelbare  puntverzameling  A/inwendige  grensverzameling 
is  in  ieder  van  haar  punten,  dan  is een  in  wendige  grensverzameling. 
')  Proc.  London  M.S.  (2)  2,  p.  -816 — 323. 
Verst,  der  Kon.  Akad.  v.  Wetenscli.,  Deel  23,  bl.  1325. 
