Wiskunde.  — M.  J.  Belinfantk:  ,,Een  generalisatie  van  destelling 
van  Mertens”. 
(Aangeboden  door  de  Heeren  L.  E.  J.  Brouwer  en  Hendrik  de  Vries). 
Nu  de  theorie  der  oneindige  reeksen,  die  vroeger  lioofdzakelijk 
beperkt  was  tot  convergente  reeksen,  uitgebreid  is  met  de  zooge- 
naamde sommeerbare  en  asjmptotisclie  reeksen,  ligt  het  voor  de 
hand,  de  vroeger  gevonden  stellingen  voor  convergente  reeksen 
zooveel  mogelijk  te  generaliseeren  voor  genoemde  categorieën. 
Voor  liet  bekende  theorema  van  Mertkns  is  dit  geschied  door 
Hardy  (Bromwich,  Tlieory  of  ïnfinite  Series,  p.  284),  waarbij  de 
soramatiemetliode  van  Borei.  is  ten  grondslag  gelegd.  Hier  zal  een 
eenigszins  andere  generalisatie  worden  behandeld,  waarbij  uitsluitend 
sprake  is  van  de  sommatiemethode  volgens  Cesaró. 
Onder  de  prodnctreeks  of  kortweg  het  product  van  de  beide 
oneindige  reeksen 
«1  + i-  • . . . en  d- 
wordt  verstaan  de  reeks  Cj  + + . . . . 
waarin  c,-  = a,  bi  -4-  a,  6,_i  -f  . . . 4“  «i’ 
Cesaró  bewees  dat  als  twee  reeksen  convergent  zijn,  haar  product 
zeker  sommeerbaar  is  van  de  eerste  orde,  en  dat  als  twee  reeksen 
sommeerbaar  zijn  respectievelijk  van  de  en  orde,  haar 
product  zeker  sommeerbaar  is  van  de  {p  q orde  *)• 
Noemen  we  een  convergente  reeks  sommeerbaar  van  de  nulde 
orde,  dan  is  het  eerste  gedeelte  begrepen  in  het  tweede. 
Het  theorema  van  Mehtens,  hetwelk  luidt:  ,, indien  van  twee 
convergente  reeksen  één  absoluut  convergeert,  dan  is  haar  product 
convergent”  kan  dan  als  volgt  geformuleerd  worden: 
Het  product  van  een  absoluut  convergente  reeks  met  een  reeks, 
die  sommeerbaar  is  van  de  nulde  orde,  is  sommeerbaar  van  de 
nulde  orde. 
In  de  eerste  plaats  ligt  nu  de  volgende  generalisatie  voor  de  hand : 
Theorema  1 : Het  product  van  een  absoluut  convergente  reeks  met 
een,  die  sommeerbaar  is  van  de  p^‘^  orde,  is  sommeerbaar  van  de  orde. 
h Bromwich.  Theory  of  infmite  series,  § 125  pp.  514—316. 
12 
Verslagen  der  Afdeeling  Natuurk.  Dl.  XXXIl  A®.  1923. 
