178 
Verder  kniinen  we  ons  afvragen  welke  eisch  aan  een  reeks,  die 
som  meerbaar  is  van  de  orde,  moet  gesteld  worden  opdat  het  ; 
pi'odnct  met  een  convergente  reeks  sommeerbaar  zij  van  de  orde. 
Dit  blijkt  nit;  | 
Theorema  2 .■  Het  product  van  een  convergente  reeks  met  een  reeks,  ! 
die  sommeerbaar  is  van  de  orde  en  maarvan  de  middehvaarden 
van  de  {p — 1)®'®  orde  begrensd  zijn,  is  sommeerbaar  van  de  p^''-  orde. 
Ten  slotte  kunnen  we  nog  het  product  beschouwen  van  twee 
reeksen,  die  sommeerbaar  zijn  van  de  en  orde,  en  worden 
dan  gevoerd  tot : 
Theorema,  3 ; Het  product  van  een  reeks,  die  sommeerbaar  is  van 
de  orde  en  maarvan  de  iniddelwaarden  van  de  {p — 1)*'®  orde  \ 
begrensd  zijn,  met  een  reeks,  die  sommeerbaar  is  van  de  7®^®  orde,  is  [ 
sommeerbaar  van  de  {p  -|-  7)*  orde. 
Noemen  we  een  reeks  samen voegbaai-  van  de  orde  (p>l)als 
zij  sommeerbaar  is  van  de  orde  en  haar  middehvaarden  van  de 
(/) — 01‘de  l)egrensd  zijn,  noemen  we  verder  een  i’eeks  samen-  : 
voegbaar  van  de  nulde  orde  als  zij  absoluut  convergeeit,  dan  zijn  * 
de  drie  theorema’s  bevat  in  het  i 
Theorema, : Het  prod,uct  van  een  reeks,  die  samenvoegbaar  is  van  ; 
de  /)'^®  orde  met  een  reeks,  die  sommeerbaar  is  van  de  7^'®  orde,  is  \ 
sommeerbaar  van  de  {p  -j-  7)'^®  orde.  ■ \ 
De  bewijzen  van  de  drie  theorema’s  zullen  echter  afzonderlijk  ,* 
gevoerd  worden.  Volledigheidshalve  leiden  we  eerst  eenige  grooten-  1 
deels  bekende  formules  af. 
I 
Is  ....  .rh),  ....  : 
1 2 (1  I 
een  willekeurige  fnndamentaalreeks  van  willekeurige  complexe  ge-  ■ 
tallen  dan  detinieeren  we : 
I 
.r(2)  = xW  4-  d,(l)  . . . . .x.(i) (1) 
= xW  + + + x^j)  . . . . (2)  I 
Onder  de  grootheden  verstaan  we  degene,  die  verkregen 
worden  door  voor  elke  i .rTz=:l  te  stellen.  Gemakkelijk  is  te' 
verifieeren  dat: 
A^k) 
n 
(«  -f  k—2)! 
(3) 
Verder  worden  beschouwd  de  reeksen  ai  -j-  «2  + • • • • 
b\  -\r  bi  . benevens  haai-  productreeks  Ci  -]-  C2  + . ■ • . (waarbij  | 
(bis  Cn  = <h  b,i  -j-  a2  bi)  en  stellen  we:  i 
